이 계산기의 기능
3차원 두 점 사이 거리 계산기는 3차원 직교 좌표 공간에 있는 임의의 두 점 사이의 직선(유클리드) 거리를 구해 줍니다. 두 점의 X, Y, Z 좌표를 입력하면 거리를 소수점 여섯 자리까지 보여 주고, 중간 계산 과정도 함께 표시합니다. 입력값은 단위가 없는 좌표이므로, 결과로 나오는 거리의 단위는 여러분이 입력에 가정한 단위(미터, 피트, 픽셀 등)를 그대로 따릅니다.
사용 방법
첫 번째 점의 좌표를 X1, Y1, Z1 칸에, 두 번째 점의 좌표를 X2, Y2, Z2 칸에 입력하세요. 여섯 개의 값은 양수, 음수, 정수, 소수 모두 가능합니다. 계산 버튼을 누르면 강조된 결과 상자에서 거리를 확인할 수 있습니다. 각 차이를 제곱하기 때문에 두 점의 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
공식 풀이
3차원 거리 공식은 피타고라스 정리를 세 축으로 확장한 것입니다.
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
각 축을 따라 좌표의 차이를 구하고, 그 차이를 각각 제곱한 뒤(이때 부호는 사라집니다), 세 제곱값을 모두 더하고, 그 합의 제곱근을 취합니다. 거리는 항상 0 이상이며, 두 점이 완전히 겹칠 때만 0이 됩니다. 2차원 거리를 구하고 싶다면 두 Z 값을 같게(예: 둘 다 0) 설정하면 됩니다.
예제 풀이
점 (7, 4, 3)과 (17, 6, 2)의 경우 각 축의 차이는 10, 2, -1입니다. 이를 제곱하면 100, 4, 1이 되고 합은 105입니다. 따라서 거리는 \(\sqrt{105} = 10.246951\)입니다. 또 다른 예로 (5, 6, 2)와 (-7, 11, -13)을 보면 차이는 -12, 5, -15이고 제곱하면 144, 25, 225, 합은 394이므로 $$d = \sqrt{394} = 19.849433$$이 됩니다.
정의 및 용어집
아래의 용어들은 3차원 공간에서 두 점 사이의 직선 거리를 계산할 때 사용되는 개념과 변수를 설명합니다.
- 유클리드 거리 — 두 점 사이의 직선(최단) 거리로, 축을 따라 또는 곡선 경로가 아닌 공간을 통해 "직진"으로 측정됩니다. 3D에서는 \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)로 주어집니다.
- 데카르트 좌표계 — 원점 \((0,0,0)\)에서 만나는 서로 수직인 세 축(X, Y, Z)으로부터의 부호가 있는 거리를 사용하여 점을 찾는 시스템입니다. 점은 순서 쌍 \((x, y, z)\)로 표기됩니다.
- \(x_1, y_1, z_1\) — 첫 번째 점의 X, Y, Z 좌표로, \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\)입니다.
- \(x_2, y_2, z_2\) — 두 번째 점의 X, Y, Z 좌표로, \(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\)입니다.
- 델타 (\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)) — 두 점 사이의 각 좌표에서의 변화 또는 차이: \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\), \(\Delta z = z_2 - z_1\). 각 델타가 제곱되므로 뺄셈의 순서(따라서 부호)는 최종 거리에 영향을 주지 않습니다.
- 공간 대각선 — 직육면체를 통과하는 가장 긴 직선으로, 대각 모서리 사이를 이어집니다. 상자의 모서리 길이가 \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\)이면, 공간 대각선은 3D 거리 \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\)와 같으며, 이는 이 계산기가 반환하는 값과 정확히 같습니다.
- 피타고라스 정리와의 관계 — 3D 거리 공식은 피타고라스 정리를 두 번 적용한 것입니다. 먼저 X-Y 바닥 평면의 대각선은 \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)입니다. 이 대각선과 수직 거리 \(\Delta z\)를 두 번째 직각삼각형의 두 다리로 취급하면 \(d = \sqrt{\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\)를 얻습니다. 3D 거리는 또한 벡터 \(\langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle\)의 크기입니다.
다양한 점 쌍 사이의 거리
아래 표는 공식 \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\)를 통해 여러 대표적인 점 쌍을 계산합니다. 각 행은 축별 차이, 제곱의 합, 그리고 결과 거리를 나열합니다. 일치하는 점들은 거리 0을 산출하며, 각 델타가 제곱되므로 음수 좌표도 양수 거리를 생성합니다.
| 시나리오 | \(P_1\) | \(P_2\) | \(\Delta x\) | \(\Delta y\) | \(\Delta z\) | 제곱의 합 | 거리 \(d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 축 정렬됨(X만) | (0, 0, 0) | (5, 0, 0) | 5 | 0 | 0 | 25 | 5 |
| 축 정렬됨(Z만) | (2, 3, 1) | (2, 3, 9) | 0 | 0 | 8 | 64 | 8 |
| 단위 정육면체 대각선 | (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1 | 1 | 1 | 3 | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) |
| 정수 피타고라스 삼조 | (0, 0, 0) | (1, 2, 2) | 1 | 2 | 2 | 9 | 3 |
| 일반 대각선 | (1, 2, 3) | (4, 6, 15) | 3 | 4 | 12 | 169 | 13 |
| 음수 포함 | (-2, -3, -1) | (1, 1, -1) | 3 | 4 | 0 | 25 | 5 |
| 일치하는 점 | (7, -4, 2) | (7, -4, 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
"일반 대각선" 행의 경우, 전체 치환은 \(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (15-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\)입니다.
자주 묻는 질문
두 점의 순서를 바꾸면 결과가 달라지나요? 아니요. 각 좌표의 차이를 제곱하기 때문에 두 점을 서로 바꿔도 거리는 동일합니다.
결과의 단위는 무엇인가요? 좌표에 사용한 단위와 같습니다. 계산기는 별도의 단위 변환을 하지 않습니다.
음수 좌표도 쓸 수 있나요? 네. 여섯 개의 값 모두 음의 정수와 소수를 완전히 지원합니다.
