Công cụ này làm gì
Máy Tính Khoảng Cách Giữa Hai Điểm Trong Không Gian 3D giúp bạn xác định khoảng cách theo đường thẳng (khoảng cách Euclid) giữa hai điểm bất kỳ trong hệ tọa độ Descartes ba chiều. Bạn chỉ cần nhập tọa độ X, Y, Z của mỗi điểm, công cụ sẽ trả về khoảng cách với độ chính xác tới sáu chữ số thập phân, kèm theo các bước tính trung gian. Các giá trị tọa độ không gắn với đơn vị cụ thể, vì vậy kết quả sẽ mang đúng đơn vị mà bạn quy ước cho dữ liệu đầu vào (mét, feet, pixel, v.v.).
Cách sử dụng
Nhập tọa độ của điểm thứ nhất vào các ô X1, Y1, Z1 và tọa độ của điểm thứ hai vào các ô X2, Y2, Z2. Cả sáu giá trị đều có thể là số dương, số âm, số nguyên hoặc số thập phân. Nhấn nút tính toán và xem khoảng cách hiển thị trong ô kết quả được làm nổi bật. Thứ tự của hai điểm không ảnh hưởng đến kết quả, vì mỗi hiệu số đều được bình phương.
Giải thích công thức
Công thức khoảng cách trong không gian 3D là sự mở rộng của định lý Pythagore sang ba trục tọa độ:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
Bạn lấy hiệu số trên từng trục, bình phương mỗi hiệu số (nhờ đó dấu âm/dương bị loại bỏ), cộng ba bình phương lại rồi lấy căn bậc hai của tổng đó. Khoảng cách luôn bằng 0 hoặc dương, và chỉ bằng 0 khi hai điểm trùng nhau. Nếu muốn tính khoảng cách trong mặt phẳng 2D, bạn chỉ cần đặt hai giá trị Z bằng nhau (ví dụ cùng bằng 0).
Ví dụ minh họa
Với hai điểm (7, 4, 3) và (17, 6, 2): các hiệu số lần lượt là 10, 2 và -1. Bình phương chúng được 100, 4 và 1, tổng bằng 105. Khoảng cách là \(\sqrt{105} = 10.246951\). Ví dụ thứ hai, (5, 6, 2) và (-7, 11, -13), cho các hiệu số -12, 5, -15, bình phương là 144, 25, 225, tổng bằng 394, nên \(d = \sqrt{394} = 19.849433\).
Định nghĩa & Từ vựng
Các thuật ngữ dưới đây mô tả các khái niệm và biến được sử dụng khi tính khoảng cách đường thẳng giữa hai điểm trong không gian ba chiều.
- Khoảng cách Euclidean — Khoảng cách đường thẳng (ngắn nhất) giữa hai điểm, được đo "theo đường chim bay" qua không gian thay vì dọc theo các trục hoặc một đường cong. Trong 3D, nó được cho bởi \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\).
- Tọa độ Descartes — Một hệ thống xác định vị trí của một điểm bằng cách sử dụng khoảng cách có dấu từ ba trục vuông góc với nhau (X, Y, Z) gặp nhau tại gốc tọa độ \((0,0,0)\). Một điểm được viết dưới dạng bộ ba có thứ tự \((x, y, z)\).
- \(x_1, y_1, z_1\) — Tọa độ X, Y và Z của điểm đầu tiên, \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\).
- \(x_2, y_2, z_2\) — Tọa độ X, Y và Z của điểm thứ hai, \(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\).
- Delta (\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)) — Sự thay đổi hoặc chênh lệch trong mỗi tọa độ giữa hai điểm: \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\) và \(\Delta z = z_2 - z_1\). Vì mỗi delta được bình phương, thứ tự trừ (và do đó dấu) không ảnh hưởng đến khoảng cách cuối cùng.
- Đường chéo không gian — Đường thẳng dài nhất đi qua một hộp hình chữ nhật (hình hộp chữ nhật), chạy giữa các góc đối diện. Nếu một hộp có độ dài cạnh \(\Delta x\), \(\Delta y\) và \(\Delta z\), đường chéo không gian của nó bằng khoảng cách 3D \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) — chính xác là giá trị mà máy tính này trả về.
- Mối quan hệ với định lý Pythagorean — Công thức khoảng cách 3D là định lý Pythagorean được áp dụng hai lần. Đầu tiên, đường chéo trên mặt phẳng cơ sở X-Y là \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\). Khi coi đường chéo đó và độ lệch dọc \(\Delta z\) là hai cạnh của tam giác vuông thứ hai, ta có \(d = \sqrt{\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). Khoảng cách 3D cũng là độ lớn của vectơ \(\langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle\).
Khoảng cách Giữa Các Cặp Điểm Khác Nhau
Bảng dưới đây xử lý một số cặp điểm tiêu biểu qua công thức \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). Mỗi hàng liệt kê các chênh lệch trên mỗi trục, tổng bình phương của chúng và khoảng cách kết quả. Lưu ý rằng các điểm trùng nhau cho khoảng cách bằng 0, và các tọa độ âm vẫn tạo ra khoảng cách dương vì mỗi delta được bình phương.
| Tình huống | \(P_1\) | \(P_2\) | \(\Delta x\) | \(\Delta y\) | \(\Delta z\) | Tổng bình phương | Khoảng cách \(d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Căn chỉnh theo trục (chỉ X) | (0, 0, 0) | (5, 0, 0) | 5 | 0 | 0 | 25 | 5 |
| Căn chỉnh theo trục (chỉ Z) | (2, 3, 1) | (2, 3, 9) | 0 | 0 | 8 | 64 | 8 |
| Đường chéo lập phương đơn vị | (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1 | 1 | 1 | 3 | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) |
| Bộ ba Pythagorean sạch | (0, 0, 0) | (1, 2, 2) | 1 | 2 | 2 | 9 | 3 |
| Đường chéo chung | (1, 2, 3) | (4, 6, 15) | 3 | 4 | 12 | 169 | 13 |
| Với số âm | (-2, -3, -1) | (1, 1, -1) | 3 | 4 | 0 | 25 | 5 |
| Các điểm trùng nhau | (7, -4, 2) | (7, -4, 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Đối với hàng "đường chéo chung", phép thay thế đầy đủ là \(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (15-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).
Câu hỏi thường gặp
Thứ tự của hai điểm có làm thay đổi kết quả không? Không. Vì mỗi hiệu số tọa độ đều được bình phương nên việc hoán đổi hai điểm vẫn cho ra cùng một khoảng cách.
Kết quả có đơn vị là gì? Kết quả mang cùng đơn vị mà bạn đã dùng cho tọa độ; công cụ không thực hiện chuyển đổi đơn vị.
Tôi có thể dùng tọa độ âm không? Có. Cả số nguyên âm lẫn số thập phân âm đều được hỗ trợ đầy đủ cho cả sáu giá trị.
