Công cụ này làm gì
Công cụ này tính khoảng cách ngắn nhất (nhỏ nhất) giữa hai đường thẳng trong không gian ba chiều. Mỗi đường thẳng được xác định bởi một điểm mà nó đi qua, P = (a, b, c), và một vector chỉ phương V = (p, q, r) cùng phương với nó — đúng là dữ liệu trong phương trình chính tắc dạng \((x-a)/p = (y-b)/q = (z-c)/r\). Đây là một công cụ hình học giải tích thuần túy, áp dụng được ở mọi nơi, không phụ thuộc vào đơn vị hay quy tắc riêng của từng quốc gia.
Cách sử dụng
Nhập ba tọa độ của điểm P1 và ba thành phần của vector chỉ phương V1 cho đường thẳng thứ nhất, rồi làm tương tự cho đường thẳng thứ hai. Bấm nút tính. Kết quả sẽ hiển thị khoảng cách ngắn nhất và phân loại cặp đường thẳng là cắt nhau, chéo nhau, song song hay trùng nhau. Vector chỉ phương bằng (0, 0, 0) sẽ bị từ chối vì nó không xác định được một đường thẳng.
Giải thích công thức
Đặt \(\vec{W} = \text{P2} - \text{P1}\) là vector nối một điểm trên mỗi đường thẳng, và \(\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2}\) là tích có hướng của hai vector chỉ phương. Khi hai đường thẳng không song song, khoảng cách ngắn nhất bằng giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp chia cho độ dài của \(\vec{N}\):
$$d = \frac{\left| \vec{W} \cdot \vec{N} \right|}{\left| \vec{N} \right|}$$Nếu kết quả này bằng 0 thì hai đường thẳng cắt nhau; ngược lại chúng chéo nhau (không bao giờ gặp nhau nhưng cũng không song song). Khi \(\vec{V_1}\) và \(\vec{V_2}\) là bội số vô hướng của nhau, \(\vec{N}\) là vector không, nên công cụ chuyển sang công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
$$d = \frac{\left| \vec{W} \times \vec{V_1} \right|}{\left| \vec{V_1} \right|}$$nếu kết quả ở đây bằng 0 thì hai đường thẳng trùng nhau.
Ví dụ minh họa
Lấy \(\text{P1} = (-1, 2, 0)\), \(\vec{V_1} = (2, 3, 1)\) và \(\text{P2} = (3, -4, 1)\), \(\vec{V_2} = (1, 2, 1)\). Khi đó \(\vec{W} = (4, -6, 1)\) và \(\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2} = (1, -1, 1)\) với \(\left| \vec{N} \right| = \sqrt{3} = 1.7320508\). Tích vô hướng \(\vec{W} \cdot \vec{N} = 4 + 6 + 1 = 11\), do đó $$d = \frac{11}{\sqrt{3}} = 6.350853.$$ Vì \(d \neq 0\) nên hai đường thẳng chéo nhau.
Câu hỏi thường gặp
"Chéo nhau" nghĩa là gì? Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường trong không gian 3D không song song cũng không cắt nhau — chúng lướt qua nhau ở một khoảng cách nhỏ nhất cố định.
Vì sao khoảng cách bằng 0? Khoảng cách bằng 0 nghĩa là hai đường thẳng có ít nhất một điểm chung: hoặc chúng cắt nhau, hoặc nếu song song thì chúng chính là một đường.
Độ dài của vector chỉ phương có quan trọng không? Không. Việc nhân vector chỉ phương với một hệ số không làm thay đổi đường thẳng, và công thức đã chuẩn hóa theo độ dài tương ứng, nên khoảng cách không bị ảnh hưởng.
