Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, üç boyutlu uzaydaki iki doğru arasındaki en kısa (minimum) mesafeyi hesaplar. Her doğru, üzerinden geçtiği bir nokta \(P = (a, b, c)\) ve ona paralel bir yön vektörü \(V = (p, q, r)\) ile tanımlanır; yani tam olarak simetrik formdaki \((x-a)/p = (y-b)/q = (z-c)/r\) verileriyle. Bu, herhangi bir birim ya da ülkeye özgü kural içermeyen, evrensel olarak geçerli, salt analitik geometri aracıdır.
Nasıl kullanılır?
Önce birinci doğru için P1 noktasının üç koordinatını ve V1 yön vektörünün üç bileşenini girin, ardından ikinci doğru için aynısını yapın. Hesapla düğmesine basın. Sonuç, en kısa mesafeyi gösterir ve doğru çiftini kesişen, aykırı, paralel veya çakışık olarak sınıflandırır. \((0, 0, 0)\) olan herhangi bir yön vektörü kabul edilmez, çünkü bir doğru tanımlamaz.
Formülün açıklaması
\(\vec{W} = \text{P2} - \text{P1}\), her doğru üzerindeki birer noktayı birleştiren vektör; \(\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2}\) ise yön vektörlerinin vektörel (çapraz) çarpımı olsun. Doğrular paralel değilse, en kısa mesafe, skaler üçlü çarpımın mutlak değerinin \(\vec{N}\)'nin büyüklüğüne bölümüdür:
$$d = \frac{\left| \vec{W} \cdot \vec{N} \right|}{\left| \vec{N} \right|}$$Bu değer sıfırsa doğrular kesişir; aksi halde aykırıdır (hiç buluşmazlar ama paralel de değildirler). \(\vec{V_1}\) ile \(\vec{V_2}\) birbirinin skaler katı ise \(\vec{N}\) sıfır vektörü olur ve hesaplayıcı noktadan doğruya mesafe formülüne geçer:
$$d = \frac{\left| \vec{W} \times \vec{V_1} \right|}{\left| \vec{V_1} \right|}$$burada sonucun sıfır olması doğruların çakışık olduğu anlamına gelir.
Çözümlü örnek
\(\text{P1} = (-1, 2, 0)\), \(\vec{V_1} = (2, 3, 1)\) ve \(\text{P2} = (3, -4, 1)\), \(\vec{V_2} = (1, 2, 1)\) olsun. Bu durumda \(\vec{W} = (4, -6, 1)\) ve \(\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2} = (1, -1, 1)\) olup
$$\left| \vec{N} \right| = \sqrt{3} = 1.7320508$$olur. Skaler çarpım
$$\vec{W} \cdot \vec{N} = 4 + 6 + 1 = 11$$olduğundan
$$d = \frac{11}{\sqrt{3}} = 6.350853$$bulunur. \(d\) sıfırdan farklı olduğu için iki doğru aykırıdır.
Sıkça sorulan sorular
"Aykırı" ne demek? Aykırı doğrular, 3 boyutlu uzayda ne paralel ne de kesişen doğrulardır; sabit bir minimum mesafe koruyarak birbirlerinin yanından geçerler.
Mesafe neden sıfır çıkıyor? Sıfır mesafe, doğruların en az bir ortak noktası olduğu anlamına gelir: ya kesişiyorlardır ya da paralel iseler tamamen aynı doğrudurlar.
Yön vektörlerinin uzunlukları önemli mi? Hayır. Bir yön vektörünü ölçeklemek doğruyu değiştirmez; formül ilgili büyüklüğe göre normalleştirme yaptığından mesafe etkilenmez.
