三维空间两直线间距离计算器

位置关系	Lines are skew

这个计算器能做什么

本工具用于计算三维空间中两条直线之间的最短（最小）距离。每条直线都由它所经过的一个点 $P = (a, b, c)$ 和一个与之平行的方向向量 $V = (p, q, r)$ 来确定——这正是对称式 $\frac{x-a}{p} = \frac{y-b}{q} = \frac{z-c}{r}$ 中所包含的数据。它是一款纯粹的解析几何工具，普遍适用，不涉及任何单位或国别相关的规定。

三维空间中两条异面直线及它们之间最短的垂直距离 d — 最短距离 $d$ 是连接两条直线的垂直线段。

使用方法

先填入第一条直线上点 P1 的三个坐标，以及方向向量 V1 的三个分量；然后对第二条直线做同样的操作。点击计算即可。结果会给出两直线的最短距离，并把它们归类为相交、异面、平行或重合。如果某个方向向量为 $(0, 0, 0)$，系统将拒绝接受，因为它无法确定一条直线。

公式详解

设 $\vec{W} = \text{P2} - \text{P1}$ 为连接两条直线上各一点的向量，$\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2}$ 为两方向向量的叉积。当两直线不平行时，最短距离等于混合积（标量三重积）的绝对值除以 $\vec{N}$ 的模长：

$$d = \frac{\left| \vec{W} \cdot \vec{N} \right|}{\left| \vec{N} \right|}$$

若结果为零，则两直线相交；否则它们就是异面直线（永不相交，但也不平行）。当 $\vec{V_1}$ 与 $\vec{V_2}$ 互为数乘关系时，$\vec{N}$ 为零向量，此时计算器切换为点到直线的公式

$$d = \frac{\left| \vec{W} \times \vec{V_1} \right|}{\left| \vec{V_1} \right|}$$

若此结果为零，则说明两直线重合。

向量图：V1 与 V2 叉乘得到法向量，并将 W 投影到该向量上 — 该距离等于 $\vec{W}$ 在同时垂直于两条直线方向上的投影。

计算实例

取 $\text{P1} = (-1, 2, 0)$，$\vec{V_1} = (2, 3, 1)$，以及 $\text{P2} = (3, -4, 1)$，$\vec{V_2} = (1, 2, 1)$。则 $\vec{W} = (4, -6, 1)$，$\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2} = (1, -1, 1)$，$\left| \vec{N} \right| = \sqrt{3} = 1.7320508$。点积 $\vec{W} \cdot \vec{N} = 4 + 6 + 1 = 11$，因此

$$d = \frac{11}{\sqrt{3}} = 6.350853$$

由于 $d$ 不为零，这两条直线为异面直线。