Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la distancia más corta (mínima) entre dos rectas en el espacio tridimensional. Cada recta se describe mediante un punto por el que pasa, \(P = (a, b, c)\), y un vector director \(V = (p, q, r)\) paralelo a ella, es decir, exactamente los datos de la ecuación en forma continua o simétrica \(\frac{x-a}{p} = \frac{y-b}{q} = \frac{z-c}{r}\). Es una herramienta de geometría analítica pura, válida en cualquier contexto, sin unidades ni reglas que dependan de ningún país.
Cómo usarla
Introduce las tres coordenadas del punto P1 y las tres componentes del vector director V1 de la primera recta y, a continuación, haz lo mismo con la segunda recta. Pulsa calcular. El resultado muestra la distancia mínima y clasifica el par de rectas como secantes, cruzadas (que se cruzan sin cortarse), paralelas o coincidentes. Cualquier vector director igual a \((0, 0, 0)\) se rechaza, ya que no define ninguna recta.
La fórmula explicada
Sea \(\vec{W} = \text{P2} - \text{P1}\) el vector que une un punto de cada recta, y \(\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2}\) el producto vectorial de los vectores directores. Cuando las rectas no son paralelas, la distancia más corta es el valor absoluto del producto mixto dividido entre el módulo de \(\vec{N}\):
$$d = \frac{\left| \vec{W} \cdot (\vec{V_1} \times \vec{V_2}) \right|}{\left| \vec{V_1} \times \vec{V_2} \right|}$$Si este valor es cero, las rectas se cortan; en caso contrario son cruzadas (nunca se encuentran, pero tampoco son paralelas). Cuando \(\vec{V_1}\) y \(\vec{V_2}\) son múltiplos escalares uno del otro, \(\vec{N}\) es el vector nulo, así que la calculadora pasa a usar la fórmula de la distancia de un punto a una recta:
$$d = \frac{\left| \vec{W} \times \vec{V_1} \right|}{\left| \vec{V_1} \right|}$$un resultado de cero en este caso significa que las rectas son coincidentes.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\text{P1} = (-1, 2, 0)\), \(\vec{V_1} = (2, 3, 1)\) y \(\text{P2} = (3, -4, 1)\), \(\vec{V_2} = (1, 2, 1)\). Entonces \(\vec{W} = (4, -6, 1)\) y \(\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2} = (1, -1, 1)\), con \(\left| \vec{N} \right| = \sqrt{3} = 1{,}7320508\). El producto escalar \(\vec{W} \cdot \vec{N} = 4 + 6 + 1 = 11\), de modo que
$$d = \frac{11}{\sqrt{3}} = 6{,}350853$$Como d es distinto de cero, las dos rectas se cruzan (son cruzadas).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que dos rectas se «cruzan»? Las rectas que se cruzan (también llamadas alabeadas o cruzadas) son rectas en el espacio 3D que no son ni paralelas ni secantes: pasan una junto a la otra manteniendo una distancia mínima fija.
¿Por qué la distancia es cero? Una distancia de cero indica que las rectas comparten al menos un punto: o bien se cortan, o bien, si son paralelas, se trata de la misma recta.
¿Importa la longitud de los vectores directores? No. Multiplicar un vector director por un escalar no cambia la recta, y la fórmula divide por el módulo correspondiente, así que la distancia no se ve afectada.
