ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة أقصر مسافة (المسافة الدنيا) بين خطين مستقيمين في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يُعرَّف كل خط بنقطة يمر بها، P = (a, b, c)، ومتجه اتجاه V = (p, q, r) موازٍ له — وهي تمامًا البيانات التي تظهر في الصيغة التماثلية \( (x-a)/p = (y-b)/q = (z-c)/r \). إنها أداة هندسة تحليلية خالصة تنطبق في كل مكان، دون وحدات قياس أو قواعد خاصة ببلد معيّن.
طريقة الاستخدام
أدخل الإحداثيات الثلاثة للنقطة P1 والمكوّنات الثلاثة لمتجه الاتجاه V1 للخط الأول، ثم كرّر الأمر نفسه للخط الثاني. اضغط على زر الحساب. تُظهر النتيجة أقصر مسافة وتصنّف العلاقة بين الخطين على أنها متقاطعان أو متخالفان أو متوازيان أو منطبقان. ويُرفض أي متجه اتجاه يساوي (0, 0, 0) لأنه لا يحدّد خطًا.
شرح المعادلة
لِنفرض أن \( \vec{W} = \text{P2} - \text{P1} \) هو المتجه الواصل بين نقطة على كل خط، وأن \( \vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2} \) هو الضرب الاتجاهي (الضرب المتجهي) لمتجهي الاتجاه. عندما لا يكون الخطان متوازيين، تكون أقصر مسافة هي القيمة المطلقة للجداء الثلاثي القياسي مقسومة على مقدار \( \vec{N} \):
$$ d = \frac{\left| \vec{W} \cdot \vec{N} \right|}{\left| \vec{N} \right|} $$فإذا ساوى ذلك صفرًا تقاطع الخطان؛ وإلا فهما متخالفان (لا يلتقيان أبدًا لكنهما ليسا متوازيين). أما عندما يكون \( \vec{V_1} \) و\( \vec{V_2} \) مضاعفين قياسيين لبعضهما، فإن \( \vec{N} \) يصبح المتجه الصفري، لذا تتحوّل الحاسبة إلى صيغة المسافة من نقطة إلى خط:
$$ d = \frac{\left| \vec{W} \times \vec{V_1} \right|}{\left| \vec{V_1} \right|} $$وتعني النتيجة الصفرية هنا أن الخطين منطبقان.
مثال محلول
لنأخذ \( \text{P1} = (-1, 2, 0) \) و\( \vec{V_1} = (2, 3, 1) \) و\( \text{P2} = (3, -4, 1) \) و\( \vec{V_2} = (1, 2, 1) \). عندئذٍ يكون \( \vec{W} = (4, -6, 1) \) و\( \vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2} = (1, -1, 1) \) حيث \( \left| \vec{N} \right| = \sqrt{3} = 1.7320508 \). والجداء القياسي \( \vec{W} \cdot \vec{N} = 4 + 6 + 1 = 11 \)، إذًا
$$ d = \frac{11}{\sqrt{3}} = 6.350853 $$وبما أن \( d \) لا يساوي صفرًا، فإن الخطين متخالفان.
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني أن الخطين "متخالفان"؟ الخطان المتخالفان هما خطان في الفضاء ثلاثي الأبعاد ليسا متوازيين ولا متقاطعين — يمرّ كل منهما بجوار الآخر مع بقاء مسافة دنيا ثابتة بينهما.
لماذا تكون المسافة صفرًا؟ تعني المسافة الصفرية أن الخطين يشتركان في نقطة واحدة على الأقل: فهما إمّا متقاطعان، أو متوازيان فيكونان الخط نفسه (منطبقان).
هل يؤثر طول متجهات الاتجاه على النتيجة؟ لا. ضرب متجه الاتجاه في عدد لا يغيّر الخط، كما أن المعادلة تطبّع النتيجة بقسمتها على المقدار المناسب، لذا لا تتأثر المسافة بذلك.
