ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة إيجاد الزاوية التي يتكوّن عندها تقاطع خطين مستقيمين اعتمادًا على ميل كل خط فقط. أدخِل ميل الخط الأول (\(m_1\)) وميل الخط الثاني (\(m_2\))، فتُعيد لك الحاسبة الزاوية الحادة بينهما بالدرجات والراديان معًا. تعمل الأداة مع أي قيم حقيقية للميل، وتكتشف تلقائيًا حالة الخطين المتعامدين.
طريقة الاستخدام
1. حدِّد ميل كل خط. إذا كانت معادلة الخط على الصورة \(y = mx + b\)، فإن الميل هو \(m\). وإذا كان لديك نقطتان، فالميل \(= (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)\). 2. اكتب قيمتي \(m_1\) و\(m_2\) في الحقلين المخصصين. 3. اقرأ الزاوية الناتجة؛ فالحاسبة تعرض دائمًا الزاوية الحادة (من 0° إلى 90°) بين الخطين.
شرح المعادلة
تُعطى الزاوية \(\theta\) بين خطين مستقيمين بالعلاقة
$$\theta = \arctan\left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|$$يقيس البسط مقدار الفرق بين الميلين، بينما يأخذ المقام في الاعتبار اتجاه الخطين. وعندما يكون \(1 + m_1 \cdot m_2 = 0\)، يصبح المقدار غير معرَّف لأن الخطين متعامدان تمامًا، وفي هذه الحالة تساوي الزاوية 90°. أما القيمة المطلقة فهي ما يضمن أن تكون النتيجة هي الزاوية الحادة وليس مكمّلتها المنفرجة.
مثال محلول
لنفترض أن ميل الخط الأول \(m_1 = 1\) وأن ميل الخط الثاني \(m_2 = 0\) (أي خط أفقي). عندئذٍ يكون
$$\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$ومن ثَمّ \(\theta = \arctan(1) = 45°\). والواقع أن خطًا ميله 1 يصنع بالفعل زاوية 45° مع المحور الأفقي.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان الخطان متوازيين؟ إذا كان \(m_1 = m_2\)، يصبح البسط مساويًا للصفر، ومن ثَمّ \(\theta = 0°\)؛ فالخطان المتوازيان لا توجد بينهما زاوية.
كيف أتعامل مع خط رأسي؟ الخطوط الرأسية ميلها غير معرَّف، لذلك لا تنطبق هذه المعادلة المعتمدة على الميل عليها مباشرةً. استعِض عنها باستخدام الزاوية التي يصنعها كل خط مع المحور السيني.
لماذا تكون النتيجة حادة دائمًا؟ يكوّن الخطان المتقاطعان زوجين من الزوايا المتساوية يبلغ مجموعهما 180°. وتختار القيمة المطلقة في المعادلة الزاوية الأصغر (الحادة)، وهي الزاوية المتعارف عليها بوصفها «الزاوية بين» الخطين.
