ما هي حاسبة الزاوية بين متجهين؟
تحسب هذه الأداة الزاوية المحصورة بين متجهين انطلاقًا من مركباتهما في الفضاء ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد. وهي تعتمد على علاقة الضرب القياسي (الجداء النقطي)، وهي من أهم المتطابقات الأساسية في جبر المتجهات. وسواء كنت تعمل في الفيزياء أو الرسوميات الحاسوبية أو تعلّم الآلة أو الهندسة، فإن معرفة الزاوية بين اتجاهين تُعد مهمة شائعة وضرورية.
طريقة الاستخدام
أدخل المركبات x و y و z لكلٍّ من المتجه A والمتجه B. أما في المسائل ثنائية الأبعاد، فكل ما عليك هو ترك خانات z فارغة أو ضبطها على القيمة 0. تعرض الحاسبة الزاوية بالدرجات والراديان معًا، كما تُظهر الضرب القياسي، ومقدار كل متجه، وجيب تمام الزاوية، حتى تتمكن من متابعة خطوات الحل.
شرح الصيغة
تحقق الزاوية θ العلاقة التالية:
$$\theta = \arccos\left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lVert \vec{a} \rVert \cdot \lVert \vec{b} \rVert} \right)$$
حيث يُعطى الضرب القياسي بالعلاقة \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)، أما مقدار كل متجه فهو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته، مثل \(\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\). وبقسمة الضرب القياسي على حاصل ضرب المقدارين نحصل على cos θ، ثم بأخذ الدالة العكسية لجيب التمام (arccos) نحصل على الزاوية، التي تقع دائمًا بين 0° و180°.
مثال محلول
لنأخذ \(\vec{a} = (1, 0, 0)\) و \(\vec{b} = (1, 1, 0)\). يكون الضرب القياسي $$1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1.$$ أما المقداران فهما \(\lVert \vec{a} \rVert = 1\) و \(\lVert \vec{b} \rVert = \sqrt{2} \approx 1.4142\). ومن ثمّ $$\cos\theta = \frac{1}{1 \times 1.4142} \approx 0.7071,$$ وبالتالي \(\theta = \arccos(0.7071) = 45°\).
الأسئلة الشائعة
هل تتعامل مع المتجهات ثنائية الأبعاد؟ نعم — اترك مركبات z على القيمة 0 وتختزل الحسابات تلقائيًا إلى الحالة المستوية.
ماذا لو كان أحد المتجهين صفريًا؟ تكون الزاوية غير معرّفة عند وجود متجه صفري، لذلك تُرجع الحاسبة القيمة 0 لتجنّب القسمة على صفر.
لماذا تقع النتيجة دائمًا بين 0 و180 درجة؟ لأن دالة arccos لا تُخرج إلا قيمًا ضمن هذا النطاق، وهو يمثّل أصغر زاوية غير موجهة بين المتجهين.
