ما المقصود بالمساحة المحصورة بين منحنيين؟

المساحة بين الدالتين $f(x)$ و$g(x)$ على الفترة $[a, b]$ هي المنطقة الكلية المحصورة بين منحنييهما البيانيين. ورياضيًا تساوي التكامل المحدد للقيمة المطلقة للفرق بينهما، أي $$A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|\,dx.$$ واستخدام القيمة المطلقة يضمن الحصول على مساحة موجبة دائمًا، حتى عندما يتقاطع المنحنيان أو عندما يتبادل المنحنى "العلوي" موضعه مع "السفلي" عند نقطة ما داخل الفترة.

منطقة مظللة بين منحنى علوي ومنحنى سفلي على فترة من محور السينات — المساحة بين منحنيين هي المنطقة المظللة المحدّدة من الأعلى بـ $f(x)$، ومن الأسفل بـ $g(x)$، ومن الجانبين بـ $x = a$ و $x = b$.

كيفية استخدام الحاسبة

اكتب كل دالة بدلالة x — مثل x^2 أو 2*x+1 أو sin(x) أو 4-x^2. ثم أدخِل الحد الأدنى a والحد الأعلى b، واقرأ قيمة المساحة. تدعم الأداة العمليات + − * / ^ والأقواس، والثابتين pi وe، إضافة إلى الدوال sin وcos وtan وexp وln وlog وsqrt وabs. ولست بحاجة إلى معرفة أيُّ المنحنيين في الأعلى — فالأداة تتولى حساب القيمة المطلقة للفرق نيابةً عنك.

شرح القانون

إذا كانت $f(x) \geq g(x)$ في كل نقاط الفترة $[a, b]$، فإن المساحة تساوي ببساطة $\int_{a}^{b} (f - g)\,dx$. أما عندما يتقاطع المنحنيان، فإن إشارة الفرق تتغير، ولذلك نُكامل القيمة المطلقة لتجنّب إلغاء المساحات المتعاكسة. تقوم هذه الحاسبة بحساب قيمة الدالة المُكامَلة عند آلاف النقاط، ثم تطبّق قاعدة سيمبسون المركّبة ($n = 2000$)، التي تمنح دقة عالية مع الدوال الملساء.

منحنيان متقاطعان مع منطقتين مظللتين منفصلتين حيث تكون كل دالة في الأعلى — عندما يتقاطع المنحنيان، تقسم القيمة المطلقة التكامل لتبقى مساحة كل منطقة موجبة.

مثال محلول

أوجد المساحة المحصورة بين المستقيم $y = x$ والقطع المكافئ $y = x^2$ على الفترة $[0, 1]$. هنا تكون $x \geq x^2$ ضمن هذه الفترة، ومن ثَمّ فإن $$A = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$ وحدة مربعة.

كيفية حساب المساحة بين منحنيين يدويًا

المساحة بين منحنيين $f(x)$ و $g(x)$ على الفترة $[a,b]$ هي تكامل المسافة العمودية المطلقة بينهما. لأن ترتيب المنحنيات يمكن أن يتبدل حيث يتقاطعان، لا يمكنك ببساطة أن تكامل $f-g$ عشوائيًا — هذا يؤدي إلى إلغاء الإشارات. اتبع هذا الإجراء:

ابحث عن نقاط التقاطع. حل $f(x)=g(x)$ لإيجاد $x$ واحتفظ فقط بالحلول الواقعة داخل $[a,b]$. هذه هي النقاط حيث يتبادل المنحنى العلوي والسفلي أدوارهما.
حدد المنحنى العلوي على كل فترة جزئية. بين التقاطعات المتتالية، الفرق $f-g$ يحافظ على إشارة واحدة. اختر نقطة اختبار في كل قطعة وقيِّم $f-g$: إذا كانت موجبة، $f$ هو في الأعلى؛ إذا كانت سالبة، $g$ هو في الأعلى.
اقسم التكامل عند التقاطعات. إذا تقاطع المنحنيان عند $c$ حيث \(a
كامل (الأعلى − الأسفل) على كل قطعة. في كل فترة جزئية ضع الدالة الأكبر أولاً حتى يكون التكامل غير سالب:
$$A_i = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\big(\text{أعلى}(x)-\text{أسفل}(x)\big)\,dx.$$
اجمع المساحات المطلقة. أضف القطع: $A = \sum_i A_i$. كل $A_i\ge 0$، لذا لا يوجد إلغاء.

تفصيل التعامل مع الإشارات: الصيغة المضغوطة $A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ دقيقة، لكن $\int_a^b (f-g)\,dx$ ليست المساحة عندما يتقاطع المنحنيان. على سبيل المثال، إذا كان $f-g$ هو $+2$ على فترة بعرض 1 و $-2$ على الفترة التالية بعرض 1، فإن التكامل الموقع الخام يعطي $2+(-2)=0$، بينما المساحة الحقيقية هي $|2|+|-2|=4$. الانقسام عند التقاطع وأخذ كل قطعة بشكل إيجابي هو بالضبط ما يفعله القيمة المطلقة.

المصطلحات الأساسية

التكامل المحدد: القيمة $\int_a^b h(x)\,dx$، وتمثل المساحة الموقعة الصافية بين رسم $h$ والمحور السيني من $x=a$ إلى $x=b$.
المكامل: الدالة التي يتم تكاملها. بالنسبة للمساحة بين المنحنيات، يكون المكامل هو الفرق $f(x)-g(x)$ (أو قيمتها المطلقة).
|f − g| (الفرق المطلق): الفجوة العمودية غير السالبة بين المنحنيات عند كل $x$. استخدام القيمة المطلقة يضمن أن التكامل يقيس المساحة الهندسية بدلاً من إلغاء المناطق الموجبة والسالبة.
نقطة التقاطع / التقاطع: قيمة $x$ حيث $f(x)=g(x)$؛ يلمس المنحنيان أو يتبادلان أيهما في الأعلى. يجب تقسيم التكامل عند أي تقاطع داخل $[a,b]$.
الحدود a و b: حدود التكامل السفلى والعليا التي تحدد الفترة الأفقية التي تُقاس عليها المساحة.
المنحنى العلوي / السفلي: في فترة جزئية معينة، يكون للمنحنى العلوي قيمة أكبر لـ $y$؛ تكامل المساحة هو (الأعلى − الأسفل) لذا يبقى غير سالب.
قاعدة سيمبسون المركبة: طريقة تكامل عددية تقرب $\int_a^b h\,dx$ بملاءمة قطع مكافئ على أزواج من الفترات الجزئية؛ تُستخدم عندما لا يكون لدى المكامل مشتقة عكسية بسيطة.
وحدات مربعة: الوحدات البعدية لنتيجة المساحة. نظرًا لأن المساحة تجمع بين طول أفقي وطول عمودي، يتم التعبير عن الإجابة بوحدات مربعة.

الأسئلة الشائعة

هل يهمّ أيُّ دالة أضعها كـ f وأيُّها كـ g؟ لا. فبما أن الدالة المُكامَلة هي $|f - g|$، فإن تبديل مواضعهما يعطي المساحة نفسها.

ماذا لو تقاطع المنحنيان داخل الفترة $[a, b]$؟ تعالج القيمة المطلقة نقاط التقاطع تلقائيًا، ولذلك تكون النتيجة هي المساحة الكلية المحصورة، وليست فرقًا ذا إشارة.

ما مدى دقة النتيجة؟ قاعدة سيمبسون باستخدام 2000 فترة جزئية بالغة الدقة مع الدوال المتصلة؛ وعادةً ما تطابق النتائج القيمة الدقيقة حتى عدد كبير من المنازل العشرية.

فترة التكامل	[ ٠, ١ ]
الطريقة	قاعدة سيمبسون المركّبة (n = 2000)
الدالة المُكامَلة	\| f(x) − g(x) \|

حاسبة المساحة بين منحنيين

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج