ما هو التشابه الجيبي؟
يقيس التشابه الجيبي (Cosine Similarity) مدى توجّه متجهين في الاتجاه نفسه. وهو جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما، وتتراوح قيمته من −1 (اتجاهان متعاكسان تمامًا) مرورًا بـ 0 (متعامدان) وصولًا إلى 1 (اتجاه متطابق). ولأنه يعتمد على الاتجاه فقط دون المقدار، فإنه يُستخدم على نطاق واسع في تعلّم الآلة وتنقيب النصوص وأنظمة التوصية لمقارنة المستندات والتضمينات (embeddings) ومتجهات الخصائص.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل مكوّنات x وy و(اختياريًا) z لكلٍّ من المتجه A والمتجه B. اترك حقول z فارغة أو ضع فيها صفرًا للعمل في بُعدين فقط. تُرجِع الحاسبة قيمة التشابه الجيبي إلى جانب الضرب القياسي ومقدار كل متجه والزاوية بين المتجهين بالدرجات والراديان معًا.
شرح المعادلة
الضرب القياسي هو مجموع حاصل ضرب المكوّنات المتناظرة: \(\vec{A}\cdot\vec{B} = \text{A}_x\,\text{B}_x + \text{A}_y\,\text{B}_y + \text{A}_z\,\text{B}_z\). أما مقدار المتجه فهو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مكوّناته: \(\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{\text{A}_x^{2} + \text{A}_y^{2} + \text{A}_z^{2}}\). وعند قسمة الضرب القياسي على حاصل ضرب المقدارين تُطبَّع النتيجة لتقع ضمن المجال من −1 إلى 1، فنحصل على جيب تمام الزاوية θ. وبأخذ جيب التمام العكسي (arccos) نستردّ قيمة الزاوية نفسها.
$$\cos\theta = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}$$
مثال محلول
لنأخذ A = (1، 2، 3) وB = (4، 5، 6). الضرب القياسي هو
$$1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$
والمقداران هما \(\lVert A\rVert = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3.7417\) و\(\lVert B\rVert = \sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8.7750\). وعليه يكون
$$\cos\theta = \frac{32}{3.7417 \times 8.7750} \approx 0.9746$$
وهو ما يقابل زاوية مقدارها نحو 12.93°.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني قيمة تشابه جيبي تساوي 0؟ يعني ذلك أن المتجهين متعامدان (عموديان أحدهما على الآخر) بزاوية 90°، أي لا يوجد تشابه في الاتجاه بينهما.
هل يمكن أن تكون النتيجة سالبة؟ نعم. القيمة السالبة تعني أن المتجهين يشيران إلى اتجاهين متعاكسين عمومًا، والقيمة −1 تعني أنهما متعاكسان تمامًا (متوازيان باتجاه معاكس).
ما الفرق بينه وبين المسافة الإقليدية؟ يتجاهل التشابه الجيبي المقدار ويقارن الاتجاه فقط، بينما تقيس المسافة الإقليدية الفجوة المستقيمة بين طرفي المتجهين.
