¿Qué es la similitud del coseno?
La similitud del coseno mide hasta qué punto dos vectores apuntan en la misma dirección. Es el coseno del ángulo que forman y va de −1 (sentidos opuestos) pasando por 0 (perpendiculares) hasta 1 (misma dirección). Como solo depende de la orientación y no del tamaño, se usa muchísimo en aprendizaje automático, minería de texto y sistemas de recomendación para comparar documentos, embeddings y vectores de características.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las componentes x, y y (opcionalmente) z del Vector A y del Vector B. Deja los campos z vacíos o en cero si quieres trabajar en dos dimensiones. La calculadora te devuelve la similitud del coseno junto con el producto escalar, el módulo de cada vector y el ángulo entre ambos, expresado tanto en grados como en radianes.
La fórmula explicada
El producto escalar es la suma de los productos de las componentes: \(a \cdot b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\). El módulo de un vector es la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado: \(\lVert a \rVert = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\). Al dividir el producto escalar entre el producto de los módulos, el resultado queda normalizado en el rango de −1 a 1, lo que nos da el coseno del ángulo θ. Aplicando el coseno inverso (arccos) recuperamos el propio ángulo.
$$\cos\theta = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos A = (1, 2, 3) y B = (4, 5, 6). El producto escalar es $$1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32.$$ Los módulos son \(\lVert A \rVert = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3{,}7417\) y \(\lVert B \rVert = \sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8{,}7750\). Por tanto, $$\cos\theta = \frac{32}{3{,}7417 \times 8{,}7750} \approx 0{,}9746,$$ lo que corresponde a un ángulo de unos 12,93°.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa una similitud del coseno de 0? Que los vectores son ortogonales (perpendiculares), formando un ángulo de 90°, lo que indica que no hay ninguna similitud de dirección.
¿El resultado puede ser negativo? Sí. Un valor negativo significa que los vectores apuntan en sentidos más o menos opuestos; −1 indica que son exactamente antiparalelos.
¿En qué se diferencia de la distancia euclídea? La similitud del coseno ignora el tamaño y solo compara la dirección, mientras que la distancia euclídea mide la separación en línea recta entre los extremos de los vectores.
