¿Qué es el coseno integral Ci(x)?
El coseno integral, que se escribe \(\operatorname{Ci}(x)\), es una función especial que aparece de forma recurrente en la física, el procesamiento de señales y el electromagnetismo, sobre todo en la teoría de antenas y en el análisis de integrales oscilatorias. Para un argumento real positivo \(x\) se define como la integral de \((\cos t - 1)/t\) entre 0 y \(x\), sumada al logaritmo natural de \(x\) y a la constante de Euler-Mascheroni gamma (aproximadamente 0,5772156649). Esta calculadora evalúa \(\operatorname{Ci}(x)\) con precisión doble completa para cualquier valor real.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el valor de \(x\) en el campo correspondiente y pulsa calcular. El resultado es el valor adimensional de \(\operatorname{Ci}(x)\). El dominio de la definición principal de valor real es \(x\) mayor que 0. En \(x = 0\) la función diverge hacia menos infinito (una singularidad logarítmica), por lo que la calculadora la indica como indefinida. Para valores negativos, la calculadora devuelve \(\operatorname{Ci}(|x|)\), ya que la parte real de \(\operatorname{Ci}(-x)\) coincide con \(\operatorname{Ci}(x)\); el componente imaginario de \(\pm i\cdot\pi\) se omite.
La fórmula explicada
La relación que define la función es
$$\operatorname{Ci}\!\left(x\right) = \gamma + \ln\!\left|x\right| + \int_{0}^{x} \frac{\cos t - 1}{t}\, dt$$Al desarrollar el integrando como una serie de Taylor e integrar término a término se obtiene la serie convergente
$$\operatorname{Ci}\!\left(x\right) = \gamma + \ln\!\left|x\right| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\,\left|x\right|^{2k}}{2k\,(2k)!}$$Para valores de \(x\) pequeños o moderados (aquí, \(|x|\) hasta 6) esta serie converge con rapidez y precisión. Para valores mayores, la calculadora cambia a la representación asintótica \(\operatorname{Ci}(x) = f(x)\cdot\sin(x) - g(x)\cdot\cos(x)\), que evita la cancelación catastrófica que afecta a la serie con argumentos grandes. A medida que \(x\) crece, \(\operatorname{Ci}(x)\) decae hacia cero mientras oscila como \(\sin(x)/x\).
Ejemplo resuelto
Para \(x = 1\): \(\ln(1) = 0\), y la serie da
$$-0{,}25 + 0{,}0104166667 - 0{,}0002314815 + 0{,}0000031002 - \ldots \approx -0{,}2398117421$$Al sumar \(\gamma = 0{,}5772156649\) obtenemos \(\operatorname{Ci}(1) = 0{,}3374039229\), que coincide con el valor de referencia conocido del coseno integral en 1.
Preguntas frecuentes
¿Por qué Ci(0) es indefinido? Porque \(\ln(x)\) tiende a menos infinito cuando \(x\) se aproxima a 0, de modo que la función tiene allí una singularidad logarítmica.
¿Y para x negativo? Ci es compleja para argumentos negativos. Esta calculadora de valor real devuelve \(\operatorname{Ci}(|x|)\), la parte real, y descarta el término imaginario.
¿Qué precisión tienen los resultados? Los resultados son precisos hasta aproximadamente la precisión doble de máquina (unos 15 dígitos significativos) en todo el rango habitual de entrada.
