¿Qué es el seno integral hiperbólico Shi(x)?
El seno integral hiperbólico, que se escribe \(\operatorname{Shi}(x)\), es una función especial definida como la integral definida de \(\sinh(t)/t\) entre 0 y x. Aunque a primera vista parezca que el integrando se dispara en \(t = 0\), esa singularidad es evitable: cuando t tiende a 0, \(\sinh(t)/t\) tiende a 1. Gracias a ello, \(\operatorname{Shi}(x)\) es analítica en toda la recta real, cumple \(\operatorname{Shi}(0) = 0\) y es una función impar, es decir, \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce cualquier número real x en el campo correspondiente y la calculadora devolverá \(\operatorname{Shi}(x)\). Cuando x es mayor que cero, también muestra el coseno integral hiperbólico \(\operatorname{Chi}(x)\) asociado. Para \(x \le 0\), \(\operatorname{Chi}(x)\) aparece como indefinida, ya que incluye \(\ln(x)\) y desarrolla una rama compleja. Los resultados se presentan con unos doce dígitos significativos empleando aritmética de doble precisión.
La fórmula explicada
Esta herramienta suma la serie de Maclaurin $$\operatorname{Shi}(x) = x + \frac{x^3}{3\cdot 3!} + \frac{x^5}{5\cdot 5!} + \ldots,$$ que converge para todo número real x. Cada término se calcula de forma incremental a partir del anterior, lo que evita el desbordamiento de los factoriales, y la suma se detiene cuando un nuevo término resulta insignificante frente al total acumulado. \(\operatorname{Chi}(x)\) se obtiene como $$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \ldots,$$ donde \(\gamma\) es la constante de Euler-Mascheroni, de valor aproximado \(0{,}5772156649\).
Ejemplo resuelto
Para \(x = 1\), la serie da $$1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \ldots \approx 1{,}0572508754.$$ El valor de referencia conocido es \(\operatorname{Shi}(1) = 1{,}0572508753757285\) y \(\operatorname{Chi}(1) = 0{,}8378669409765007\), lo que coincide con el resultado de la calculadora.
Preguntas frecuentes
¿Es Shi(x) lo mismo que el seno integral Si(x)? No. \(\operatorname{Si}(x)\) integra \(\sin(t)/t\), mientras que \(\operatorname{Shi}(x)\) integra la versión hiperbólica \(\sinh(t)/t\). Ambas se relacionan mediante \(\operatorname{Shi}(x) = -i\cdot\operatorname{Si}(ix)\).
¿Por qué Chi no está definida para x ≤ 0? \(\operatorname{Chi}(x)\) contiene \(\ln(x)\); para x negativo este término se vuelve complejo, y en \(x = 0\) diverge hacia menos infinito.
¿Cómo de grande puede ser x? Como \(\sinh\) crece aproximadamente como \(e^{|x|}/2\), la doble precisión se desborda cerca de \(|x| \approx 700\). Para valores moderados, la serie es extremadamente precisa.
