Tích phân sin hyperbol Shi(x) là gì?
Tích phân sin hyperbol, ký hiệu \(\operatorname{Shi}(x)\), là một hàm đặc biệt được định nghĩa bằng tích phân xác định của \(\sinh(t)/t\) lấy từ 0 đến x. Thoạt nhìn, hàm dưới dấu tích phân tưởng chừng sẽ bị "vô định" tại t = 0, nhưng điểm kỳ dị này có thể khử được: khi t tiến về 0, biểu thức \(\sinh(t)/t\) tiến về 1. Nhờ vậy, \(\operatorname{Shi}(x)\) là hàm giải tích trên toàn bộ trục số thực, với \(\operatorname{Shi}(0) = 0\). Đây cũng là một hàm lẻ, nghĩa là \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\).
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập một số thực x bất kỳ vào ô nhập liệu, máy tính sẽ trả về giá trị \(\operatorname{Shi}(x)\). Khi x lớn hơn 0, công cụ còn cho ra thêm tích phân cosin hyperbol \(\operatorname{Chi}(x)\) liên quan. Với \(x \le 0\), \(\operatorname{Chi}(x)\) được báo là không xác định vì hàm này chứa \(\ln(x)\) và phát sinh nhánh phức. Kết quả được hiển thị tới khoảng mười hai chữ số có nghĩa, sử dụng phép tính độ chính xác kép (double precision).
Giải thích công thức
Công cụ này tính tổng của chuỗi Maclaurin:
$$\operatorname{Shi}(x) = x + \frac{x^3}{3\cdot 3!} + \frac{x^5}{5\cdot 5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{\,2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}$$hội tụ với mọi số thực x. Mỗi số hạng được tính dần dần từ số hạng trước đó để tránh tràn số khi tính giai thừa, và phép cộng dừng lại khi một số hạng mới trở nên quá nhỏ so với tổng đang chạy. \(\operatorname{Chi}(x)\) được tính theo công thức
$$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \cdots$$trong đó \(\gamma\) là hằng số Euler-Mascheroni, xấp xỉ \(0{,}5772156649\).
Ví dụ minh họa
Với \(x = 1\): chuỗi cho ra
$$1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1{,}0572508754$$Giá trị tham chiếu đã biết là \(\operatorname{Shi}(1) = 1{,}0572508753757285\) và \(\operatorname{Chi}(1) = 0{,}8378669409765007\), hoàn toàn khớp với kết quả của máy tính.
Câu hỏi thường gặp
Shi(x) có giống tích phân sin Si(x) không? Không. \(\operatorname{Si}(x)\) lấy tích phân của \(\sin(t)/t\), còn \(\operatorname{Shi}(x)\) lấy tích phân của hàm hyperbol \(\sinh(t)/t\). Hai hàm này liên hệ với nhau qua công thức \(\operatorname{Shi}(x) = -i\cdot\operatorname{Si}(ix)\).
Vì sao Chi không xác định khi x ≤ 0? \(\operatorname{Chi}(x)\) có chứa \(\ln(x)\); với x âm thì biểu thức này trở thành số phức, còn tại \(x = 0\) thì nó phân kỳ về âm vô cực.
x có thể lớn đến mức nào? Vì \(\sinh\) tăng xấp xỉ theo \(e^{|x|}/2\) nên độ chính xác kép sẽ tràn số khi \(|x| \approx 700\). Với các giá trị vừa phải, chuỗi cho kết quả cực kỳ chính xác.
