什麼是雙曲正弦積分 Shi(x)？
雙曲正弦積分以 Shi(x) 表示，是一個特殊函數，定義為 sinh(t)/t 從 0 到 x 的定積分。雖然乍看之下被積函數在 t = 0 處似乎會發散，但這個奇異點其實是可去的：當 t 趨近於 0 時，sinh(t)/t 會趨近於 1。正因如此，Shi(x) 在整條實數線上都是解析的，且 Shi(0) = 0。此外它是奇函數，也就是 Shi(-x) = -Shi(x)。
如何使用這個計算器
只要在輸入欄位中填入任意實數 x，計算器就會回傳 Shi(x) 的值。當 x 大於 0 時，還會一併給出相關的雙曲餘弦積分 Chi(x)。若 x ≤ 0，由於 Chi(x) 含有 ln(x) 並會產生複數分支，因此會顯示為「未定義」。所有結果均以雙精度浮點運算，呈現約 12 位有效數字。
公式說明
本工具透過麥克勞林級數 Shi(x) = x + x³/(3·3!) + x⁵/(5·5!) + ... 求和，這個級數對任何實數 x 都收斂。每一項都由前一項逐步遞推而來，以避免階乘溢位；當新增的項相對於累計總和已小到可忽略時，計算便會停止。Chi(x) 則以 gamma + ln(x) + x²/(2·2!) + x⁴/(4·4!) + ... 計算，其中 gamma 是歐拉－馬斯刻若尼常數，約等於 0.5772156649。
實例演算
以 x = 1 為例：級數得到 1 + 1/18 + 1/600 + 1/35280 + ... ≈ 1.0572508754。已知的參考值為 Shi(1) = 1.0572508753757285，而 Chi(1) = 0.8378669409765007，與計算器的輸出結果一致。
常見問題
Shi(x) 和正弦積分 Si(x) 是同一個函數嗎？不是。Si(x) 積分的是 sin(t)/t，而 Shi(x) 積分的是雙曲函數 sinh(t)/t。兩者的關係為 Shi(x) = -i·Si(ix)。
為什麼 x ≤ 0 時 Chi 沒有定義？因為 Chi(x) 含有 ln(x)；當 x 為負數時會變成複數，而在 x = 0 時則發散至負無窮大。
x 最大可以到多少？由於 sinh 大致以 e^|x|/2 的速度增長，雙精度在 |x| ≈ 700 附近就會溢位。對於中等大小的數值，這個級數的精度非常高。
