쌍곡 사인 적분 Shi(x)란?
쌍곡 사인 적분은 \(\operatorname{Shi}(x)\)로 표기하며, 0부터 x까지 \(\sinh(t)/t\)를 정적분한 값으로 정의되는 특수 함수입니다. 피적분 함수만 보면 \(t = 0\)에서 발산할 것처럼 보이지만, 실제로는 그 특이점이 제거 가능합니다. t가 0에 가까워질수록 \(\sinh(t)/t\)가 1로 수렴하기 때문입니다. 덕분에 \(\operatorname{Shi}(x)\)는 실수 전체에서 해석적이며, \(\operatorname{Shi}(0) = 0\)이고, \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\)를 만족하는 기함수입니다.
계산기 사용법
입력란에 임의의 실수 x를 넣으면 \(\operatorname{Shi}(x)\) 값이 바로 출력됩니다. x가 0보다 클 때는 관련 함수인 쌍곡 코사인 적분 \(\operatorname{Chi}(x)\) 값도 함께 표시됩니다. 반면 \(x \le 0\)인 경우에는 \(\operatorname{Chi}(x)\)에 \(\ln(x)\)가 포함되어 복소수 분기가 생기므로 '정의되지 않음'으로 표시됩니다. 결과는 배정밀도(double precision) 연산을 사용해 약 12자리 유효숫자까지 보여 줍니다.
공식 자세히 보기
이 계산기는 모든 실수 x에 대해 수렴하는 매클로린 급수 $$\operatorname{Shi}(x) = x + \frac{x^3}{3\cdot 3!} + \frac{x^5}{5\cdot 5!} + \cdots$$ 를 합산합니다. 각 항은 직전 항으로부터 차례대로 계산해 팩토리얼 오버플로를 피하며, 새 항이 누적 합에 비해 무시할 만큼 작아지면 합산을 멈춥니다. \(\operatorname{Chi}(x)\)는 $$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \cdots$$ 로 계산되는데, 여기서 gamma는 오일러-마스케로니 상수로 약 \(0.5772156649\)입니다.
계산 예시
\(x = 1\)인 경우, 급수는 $$1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1.0572508754$$ 가 됩니다. 알려진 참조값은 \(\operatorname{Shi}(1) = 1.0572508753757285\), \(\operatorname{Chi}(1) = 0.8378669409765007\)로, 계산기 출력값과 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
Shi(x)는 사인 적분 Si(x)와 같은 함수인가요? 아닙니다. \(\operatorname{Si}(x)\)는 \(\sin(t)/t\)를 적분하는 반면, \(\operatorname{Shi}(x)\)는 쌍곡 함수인 \(\sinh(t)/t\)를 적분합니다. 두 함수는 \(\operatorname{Shi}(x) = -i\cdot\operatorname{Si}(ix)\) 관계로 연결됩니다.
왜 x ≤ 0에서는 Chi가 정의되지 않나요? \(\operatorname{Chi}(x)\)에는 \(\ln(x)\)가 포함되어 있는데, x가 음수이면 이 값이 복소수가 되고, \(x = 0\)에서는 음의 무한대로 발산하기 때문입니다.
x는 얼마나 크게 넣을 수 있나요? sinh는 대략 \(e^{|x|}/2\) 정도로 빠르게 커지기 때문에, \(|x|\)가 약 700 부근에 이르면 배정밀도 연산에서 오버플로가 발생합니다. 그 이내의 적당한 값에서는 급수가 매우 정확합니다.
