什么是双曲正弦积分 Shi(x)？
双曲正弦积分记作 Shi(x)，是一个特殊函数，定义为被积函数 sinh(t)/t 从 0 到 x 的定积分。乍一看，被积函数似乎会在 t = 0 处发散，但这个奇点其实是可去的：当 t 趋于 0 时，sinh(t)/t 趋于 1。正因如此，Shi(x) 在整条实轴上都是解析的，且 Shi(0) = 0。它还是一个奇函数，即满足 Shi(-x) = -Shi(x)。
如何使用本计算器
在输入框中填入任意实数 x，计算器即可返回 Shi(x) 的值。当 x 大于 0 时，还会一并给出相关的双曲余弦积分 Chi(x)。当 x ≤ 0 时，Chi(x) 会被标记为「无定义」，因为它包含 ln(x) 项，会进入复数分支。结果采用双精度浮点运算，约保留十二位有效数字。
公式解析
本工具对麦克劳林级数 Shi(x) = x + x³/(3·3!) + x⁵/(5·5!) + … 进行求和，该级数对任意实数 x 都收敛。每一项都由前一项递推得到，从而避免阶乘溢出；当新增项相对于当前累加和已经小到可以忽略时，求和便停止。Chi(x) 则按 gamma + ln(x) + x²/(2·2!) + x⁴/(4·4!) + … 计算，其中 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数，约等于 0.5772156649。
计算实例
取 x = 1：级数得到 1 + 1/18 + 1/600 + 1/35280 + … ≈ 1.0572508754。已知的参考值为 Shi(1) = 1.0572508753757285，Chi(1) = 0.8378669409765007，与本计算器的输出一致。
常见问题
Shi(x) 和正弦积分 Si(x) 是同一个函数吗？不是。Si(x) 对 sin(t)/t 求积分，而 Shi(x) 对双曲函数 sinh(t)/t 求积分。两者之间存在关系 Shi(x) = -i·Si(ix)。
为什么 x ≤ 0 时 Chi 无定义？因为 Chi(x) 含有 ln(x) 项；当 x 为负时该项变为复数，而在 x = 0 时则发散到负无穷。
x 最大能取到多少？由于 sinh 大致按 e^|x|/2 增长，当 |x| ≈ 700 附近时双精度浮点数就会溢出。对于中等大小的数值，该级数的精度极高。
