什么是正弦积分 Si(x)？
正弦积分记作 Si(x)，是一个特殊函数，定义为 sin(t)/t 从 0 到 x 的定积分。虽然 sin(t)/t 在 t = 0 处看上去没有定义，但它在该点的极限恰好等于 1，因此被积函数处处连续，且 Si(0) = 0。这是一个纯数学工具，在任何地方计算结果都完全一致，不受国家或地区限制。
如何使用本计算器
输入任意实数 x——正数、负数或零都可以——计算器即会返回 Si(x) 的值。由于 Si 是奇函数，满足 Si(-x) = -Si(x)，因此负数输入只是把正数结果取相反数。当 x 不断增大时，Si(x) 会上下振荡，并逐渐收敛到 π/2 ≈ 1.5707963268。
公式详解
我们用 Si(x) 的麦克劳林幂级数来求值：
Si(x) = x − x³/(3·3!) + x⁵/(5·5!) − x⁷/(7·7!) + …
每一项都由前一项递推得到：乘以 −x²/((2n)(2n+1))，再将奇次幂除以 (2n+1)。这样可以避免直接计算庞大的阶乘，对于较小到中等的 |x|，整个计算过程都能保持数值稳定。
计算示例
当 x = 1 时，级数展开为 1 − 1/18 + 1/600 − 1/35280 + 1/3265920 − … ≈ 1 − 0.0555556 + 0.0016667 − 0.0000283 + 0.0000003 ≈ 0.9460831。公认的参考值为 Si(1) = 0.9460830703671830。
常见问题
Si(0) 等于多少？ 恰好等于 0，因为从 0 到 0 的积分必然为零。
最大值是多少？ Si(x) 的第一个、也是最大的局部极大值出现在 x = π 附近（Si(π) ≈ 1.8519），此后便围绕极限 π/2 来回振荡。
负数 x 能用吗？ 可以——Si 是奇函数，所以 Si(-2) = -Si(2) ≈ -1.6054。
