Калькулятор интегрального синуса Si(x)

Введите расчет

x Любое вещественное число (безразмерная величина). Si(x) вычисляется через степенной ряд.

Результатов

Интегральный синус Si(x)

0,9460830704

безразмерная величина

Введите x	1
Определение	Si(x) = ∫₀ˣ sin(t)/t dt
Limit as x → +∞	π/2 ≈ 1.5707963268

Что такое интегральный синус Si(x)?

Интегральный синус, обозначаемый \(\operatorname{Si}(x)\), — это специальная функция, определяемая как определённый интеграл от \(\sin(t)/t\) в пределах от 0 до \(x\). Хотя выражение \(\sin(t)/t\) на первый взгляд кажется неопределённым при \(t = 0\), его предел в этой точке в точности равен 1. Поэтому подынтегральная функция непрерывна, а \(\operatorname{Si}(0) = 0\). Это чисто математический инструмент, который даёт одинаковые результаты в любой точке мира — он не привязан к какой-либо стране или региону.

Интегральный синус \(\operatorname{Si}(x)\) возрастает, колеблется и сходится к значению \(\pi/2\) при увеличении \(x\).

Как пользоваться калькулятором

Введите любое вещественное число \(x\) — положительное, отрицательное или ноль, — и калькулятор вернёт значение \(\operatorname{Si}(x)\). Поскольку \(\operatorname{Si}\) — нечётная функция, выполняется равенство \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\), то есть отрицательные значения просто «зеркально отражают» результат для положительных. При больших \(x\) функция \(\operatorname{Si}(x)\) колеблется, постепенно сходясь к значению \(\pi/2 \approx 1{,}5707963268\).

Разбор формулы

\(\operatorname{Si}(x)\) вычисляется через её разложение в ряд Маклорена:

$$\operatorname{Si}(x) = x - \frac{x^{3}}{3\cdot 3!} + \frac{x^{5}}{5\cdot 5!} - \frac{x^{7}}{7\cdot 7!} + \dots$$

Каждое слагаемое получается из предыдущего рекуррентно: его умножают на \(-x^{2}/((2n)(2n+1))\) и делят нечётную степень на \((2n+1)\). Такой приём избавляет от прямого вычисления больших факториалов и сохраняет устойчивость расчёта при малых и умеренных значениях \(|x|\).

Реклама

\(\operatorname{Si}(x)\) равен знаковой площади под \(\sin(t)/t\) от 0 до \(x\).

Пример расчёта

При \(x = 1\) ряд даёт $$1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \frac{1}{35280} + \frac{1}{3265920} - \dots \approx 1 - 0{,}0555556 + 0{,}0016667 - 0{,}0000283 + 0{,}0000003 \approx 0{,}9460831.$$ Общепринятое эталонное значение составляет \(\operatorname{Si}(1) = 0{,}9460830703671830\).

Частые вопросы

Чему равно \(\operatorname{Si}(0)\)? Точно нулю, ведь интеграл от 0 до 0 равен нулю.

Каково максимальное значение? Первый и наибольший локальный максимум \(\operatorname{Si}(x)\) достигается вблизи \(x = \pi\) (\(\operatorname{Si}(\pi) \approx 1{,}8519\)), после чего функция колеблется, стремясь к пределу \(\pi/2\).

Работает ли калькулятор для отрицательных \(x\)? Да — функция \(\operatorname{Si}\) нечётная, поэтому \(\operatorname{Si}(-2) = -\operatorname{Si}(2) \approx -1{,}6054\).