正弦積分 Si(x) とは
正弦積分 Si(x) は、sin(t)/t を 0 から x まで定積分した特殊関数です。被積分関数 sin(t)/t は t = 0 で一見すると定義できないように見えますが、t → 0 の極限はちょうど 1 になるため関数は連続で、Si(0) = 0 となります。これは純粋数学の関数であり、どの国や地域でも結果は同じです。為替や税制のように国によって異なる数値は一切含まれません。
この計算ツールの使い方
x に任意の実数（正・負・ゼロのいずれでも可）を入力すると、Si(x) の値が返されます。Si は奇関数なので \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\) が成り立ち、負の値を入力した場合は正の値の符号を反転した結果になります。x が大きくなると Si(x) は振動しながら \(\pi/2 \approx 1.5707963268\) に収束していきます。
計算に用いる公式
本ツールでは、Si(x) をマクローリン級数（べき級数）で評価します。
$$\operatorname{Si}(x) = x - \frac{x^{3}}{3\cdot 3!} + \frac{x^{5}}{5\cdot 5!} - \frac{x^{7}}{7\cdot 7!} + \cdots$$各項は直前の項に \(-x^{2}/((2n)(2n+1))\) を掛け、奇数べきの分母を \((2n+1)\) で割ることで、漸化的に求められます。これにより大きな階乗を直接計算する必要がなくなり、|x| が小〜中程度の範囲では安定した計算が可能になります。
計算例
x = 1 の場合、級数は $$1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \frac{1}{35280} + \frac{1}{3265920} - \cdots \approx 1 - 0.0555556 + 0.0016667 - 0.0000283 + 0.0000003 \approx 0.9460831$$ となります。基準値としては \(\operatorname{Si}(1) = 0.9460830703671830\) が知られています。
よくある質問
Si(0) はいくつですか？ 0 から 0 までの積分はゼロなので、ちょうど 0 になります。
最大値はどのくらいですか？ Si(x) は \(x = \pi\) 付近で最初かつ最大の極大値をとり（\(\operatorname{Si}(\pi) \approx 1.8519\)）、その後は \(\pi/2\) へ向かって振動します。
負の x でも計算できますか？ はい。Si は奇関数なので \(\operatorname{Si}(-2) = -\operatorname{Si}(2) \approx -1.6054\) となります。
