双曲線余弦積分 Chi(x) とは
双曲線余弦積分は Chi(x) と表記される特殊関数で、\(\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cosh t - 1}{t}\,dt\) という積分で定義されます。ここで \(\gamma\) はオイラー・マスケローニ定数（約 0.5772156649）です。これは通常の余弦積分 Ci(x) の双曲線版にあたり、物理学や信号解析、指数積分の理論などに登場します。本計算機では、0 より大きい任意の実数の引数 \(x\) に対して Chi(x) の値を求められます。
計算機の使い方
\(x\) に正の実数を入力して計算を実行してください。結果は無次元量である Chi(x) の値です。Chi(x) には \(\ln(x)\) の項が含まれるため、\(x\) が 0 に正の側から近づくと関数は負の無限大へ発散し、0 以下の実数では定義されません。そのため、本ツールでは \(x > 0\) のみを受け付けます。Chi(x) は引数が小さいうちは負の値をとり、\(x \approx 0.523822\) 付近でゼロを横切ったあと正の値となり、その後は急激に増大します。
計算式の解説
実際の計算には、すべての領域で収束するべき級数 $$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{96} + \frac{x^6}{4320} + \cdots$$ を用います。これは \(k\) についての総和 $$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln\!\left(x\right) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{\,2k}}{(2k)\,(2k)!}$$ にあたります。各項は、部分和に対して計算機の精度限界を下回るまで順次加算されます。\(x\) が非常に大きい場合（\(x > 20\)）には級数の項が倍精度浮動小数点の範囲をオーバーフローしてしまうため、計算機は漸近展開 $$\mathrm{Chi}(x) \sim \frac{e^x}{2x}\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \cdots\right)$$ に切り替えて計算します。
計算例
\(x = 1\) の場合、\(\ln(1) = 0\) であり、級数から $$0.25 + 0.0104167 + 0.0002315 + \cdots = 0.2606514$$ が得られます。これに \(\gamma\) を加えると $$\mathrm{Chi}(1) = 0.5772157 + 0.2606514 = 0.8378670$$ となり、基準値 \(\mathrm{Chi}(1) = 0.8378670410\) と一致します。
よくある質問
なぜ x は正でなければならないのですか？ \(\ln(x)\) の項があるため、Chi(x) は実数 \(x \le 0\) では定義されません。負の \(x\) については主値が複素数となり、\(\mathrm{Chi}(x) = \mathrm{Chi}(|x|) + i\pi\) となります。
Chi は他の関数とどのような関係がありますか？ \(x > 0\) において \(\mathrm{Chi}(x) = \frac{\mathrm{Ei}(x) + E_1(x)}{2}\) が成り立ち、また \(\mathrm{Chi}(x) + \mathrm{Shi}(x) = \mathrm{Ei}(x)\) です。ここで Shi は双曲線正弦積分を表します。
計算結果の精度はどの程度ですか？ 計算は倍精度で行われ、一般的な入力に対しておよそ有効数字 15 桁の精度が得られます。
