हाइपरबोलिक कोसाइन इंटीग्रल Chi(x) क्या है?
हाइपरबोलिक कोसाइन इंटीग्रल, जिसे \(\mathrm{Chi}(x)\) लिखा जाता है, एक विशेष फलन है जिसकी परिभाषा इस इंटीग्रल से होती है: $$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_{0}^{x} \frac{\cosh t - 1}{t}\, dt$$ जहाँ \(\gamma\) यूलर-माशेरोनी स्थिरांक (लगभग 0.5772156649) है। यह साधारण कोसाइन इंटीग्रल \(\mathrm{Ci}(x)\) का हाइपरबोलिक रूप है और भौतिकी, सिग्नल विश्लेषण तथा एक्सपोनेंशियल इंटीग्रल के सिद्धांत में काम आता है। यह कैलकुलेटर 0 से बड़े किसी भी वास्तविक तर्क \(x\) के लिए \(\mathrm{Chi}(x)\) का मान निकालता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
\(x\) के लिए कोई धनात्मक वास्तविक संख्या दर्ज करें और सबमिट करें। परिणाम बिना इकाई वाला मान \(\mathrm{Chi}(x)\) होगा। चूँकि \(\mathrm{Chi}(x)\) में \(\ln(x)\) शामिल है, इसलिए जैसे-जैसे \(x\) धनात्मक दिशा से 0 की ओर बढ़ता है, फलन ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है और \(x \le 0\) के लिए यह वास्तविक रूप में परिभाषित नहीं है — इसी कारण यह टूल केवल \(x > 0\) स्वीकार करता है। छोटे तर्कों के लिए \(\mathrm{Chi}(x)\) ऋणात्मक रहता है, \(x = 0.523822\) के आसपास शून्य को पार करता है, और उसके बाद धनात्मक होकर तेज़ी से बढ़ने लगता है।
सूत्र की व्याख्या
व्यावहारिक गणना के लिए हम हर जगह अभिसरण करने वाली घात श्रेणी का उपयोग करते हैं: $$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{96} + \frac{x^6}{4320} + \cdots = \gamma + \ln(x) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)\,(2k)!}$$ पदों को तब तक जोड़ा जाता है जब तक वे आंशिक योग की तुलना में मशीन परिशुद्धता से नीचे न आ जाएँ। बहुत बड़े \(x\) (\(x > 20\)) के लिए श्रेणी के पद डबल परिशुद्धता से बाहर (ओवरफ़्लो) हो सकते हैं, इसलिए कैलकुलेटर असिम्प्टोटिक विस्तार पर स्विच कर देता है: $$\mathrm{Chi}(x) \sim \frac{e^x}{2x}\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \cdots\right)$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(x = 1\) के लिए, \(\ln(1) = 0\) होता है और श्रेणी देती है $$0.25 + 0.0104167 + 0.0002315 + \cdots = 0.2606514$$ इसमें \(\gamma\) जोड़ने पर: $$\mathrm{Chi}(1) = 0.5772157 + 0.2606514 = 0.8378670$$ जो संदर्भ मान \(\mathrm{Chi}(1) = 0.8378670410\) से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
x का धनात्मक होना ज़रूरी क्यों है? \(\ln(x)\) पद के कारण \(\mathrm{Chi}(x)\) वास्तविक \(x \le 0\) के लिए परिभाषित नहीं होता; ऋणात्मक \(x\) के लिए मुख्य मान सम्मिश्र (complex) होता है, \(\mathrm{Chi}(x) = \mathrm{Chi}(|x|) + i\pi\)।
Chi का अन्य फलनों से क्या संबंध है? \(x > 0\) के लिए, \(\mathrm{Chi}(x) = \frac{\mathrm{Ei}(x) + E_1(x)}{2}\), और \(\mathrm{Chi}(x) + \mathrm{Shi}(x) = \mathrm{Ei}(x)\), जहाँ \(\mathrm{Shi}\) हाइपरबोलिक साइन इंटीग्रल है।
परिणाम कितना सटीक है? परिणाम डबल परिशुद्धता में गणना किए जाते हैं और सामान्य इनपुट के लिए लगभग 15 सार्थक अंकों तक सटीक रहते हैं।
