यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल आपके तय किए हुए x-मानों की रेंज पर हाइपरबोलिक साइन इंटीग्रल Shi(x) और हाइपरबोलिक कोसाइन इंटीग्रल Chi(x) की तालिका बनाता है, और दोनों वक्रों को एक ही ग्राफ़ पर दर्शाता है। ये त्रिकोणमितीय साइन और कोसाइन इंटीग्रल Si(x) तथा Ci(x) के हाइपरबोलिक रूप हैं, और ऊष्मा चालन (heat conduction), सिग्नल विश्लेषण तथा विशेष फलनों के एसिम्प्टोटिक व्यवहार में काम आते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
तीन संख्याएँ दर्ज करें: x का आरंभिक मान (पहली पंक्ति), लगातार पंक्तियों के बीच का अंतराल (स्टेप), और पुनरावृत्तियों की संख्या (कितनी पंक्तियाँ बनानी हैं)। फिर तालिका \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) के अनुसार चलती है, जहाँ \(i = 0\) से लेकर \(\text{count}-1\) तक होता है। उदाहरण के लिए, आरंभ 0, स्टेप 0.5 और संख्या 3 देने पर \(x = 0\), \(0.5\) और \(1.0\) पर पंक्तियाँ बनती हैं।
सूत्रों की व्याख्या
परिभाषा के अनुसार \(\operatorname{Shi}(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sinh t}{t}\, dt\) और \(\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_{0}^{x} \frac{\cosh t - 1}{t}\, dt\), जहाँ \(\gamma \approx 0.5772156649\) ऑयलर-माशेरॉनी स्थिरांक है। यह कैलकुलेटर इनके समतुल्य, तेज़ी से अभिसरित होने वाली पावर सीरीज़ का मूल्यांकन करता है:
$$\operatorname{Shi}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\,(2k+1)!} \qquad \operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)\,(2k)!}$$फैक्टोरियल के ओवरफ़्लो से बचने के लिए पदों को अनुपात-अपडेट (ratio update) द्वारा जोड़ा जाता है, और जैसे ही कोई पद नगण्य हो जाता है, गणना रुक जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(x = 1\) पर:
$$\operatorname{Shi}(1) = 1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1.0572509$$$$\operatorname{Chi}(1) = 0.5772157 + \ln 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{96} + \frac{1}{4320} + \cdots \approx 0.8378695$$अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
Chi(0) को अपरिभाषित क्यों दिखाया जाता है? Chi(x) में \(\ln x\) शामिल है, जो \(x \rightarrow 0\) होने पर \(-\infty\) की ओर विचलित हो जाता है, इसलिए शून्य पर Chi परिमित नहीं रहता।
ऋणात्मक x का क्या होगा? Shi एक विषम (odd) फलन है, इसलिए \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\) होता है और इसकी गणना सामान्य रूप से होती है। Chi(x) केवल \(x > 0\) के लिए वास्तविक है (\(x < 0\) के लिए इसमें काल्पनिक भाग \(-i\pi\) जुड़ जाता है), इसलिए जब \(x \le 0\) हो तो तालिका Chi को अपरिभाषित दर्शाती है।
यह कितना सटीक है? मध्यम \(|x|\) (लगभग 10 तक) के लिए सीरीज़ पूरी डबल-प्रिसिज़न सटीकता देती है; पुनरावृत्ति लगभग 20-40 पदों में अभिसरित हो जाती है।
