Bu araç ne işe yarar?
Bu araç, belirlediğiniz bir x değerleri aralığında hiperbolik sinüs integrali Shi(x) ile hiperbolik kosinüs integrali Chi(x) değerlerini tablolaştırır ve her iki eğriyi tek bir grafik üzerinde çizer. Bu fonksiyonlar, trigonometrik sinüs ve kosinüs integralleri Si(x) ve Ci(x)'in hiperbolik karşılıklarıdır; ısı iletimi, sinyal analizi ve özel fonksiyonların asimptotik davranışlarında karşımıza çıkarlar.
Nasıl kullanılır?
Üç sayı girin: x'in başlangıç değeri (ilk satır), ardışık satırlar arasındaki artış miktarı (adım) ve iterasyon sayısı (kaç satır oluşturulacağı). Tablo, i = 0'dan count−1'e kadar \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) formülüne göre ilerler. Örneğin başlangıç 0, adım 0,5 ve sayı 3 girerseniz x = 0, 0,5 ve 1,0 değerlerinde satırlar elde edersiniz.
Formüllerin açıklaması
Tanım gereği \(\operatorname{Shi}(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sinh(t)}{t}\,dt\) ve \(\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_{0}^{x} \frac{\cosh t - 1}{t}\,dt\) olup buradaki \(\gamma \approx 0{,}5772156649\) Euler-Mascheroni sabitidir. Hesaplama aracı, bunlara eşdeğer olan ve hızlı yakınsayan kuvvet serilerini değerlendirir:
$$\operatorname{Shi}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\,(2k+1)!} \qquad \operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)\,(2k)!}$$Faktöriyel taşmasını önlemek için terimler oran güncellemesiyle biriktirilir ve bir terim ihmal edilebilir hale geldiğinde işlem durdurulur.
Örnek hesaplama
x = 1 için:
$$\operatorname{Shi}(1) = 1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1{,}0572509$$$$\operatorname{Chi}(1) = 0{,}5772157 + \ln 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{96} + \frac{1}{4320} + \cdots \approx 0{,}8378695$$Sıkça sorulan sorular
Chi(0) neden tanımsız olarak gösteriliyor? Chi(x), \(\ln x\) terimini içerir; bu terim \(x \to 0\) iken \(-\infty\)'a ıraksar, dolayısıyla Chi sıfır noktasında sonlu bir değer almaz.
Peki negatif x değerleri? Shi tek (odd) bir fonksiyondur; yani \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\) olur ve normal şekilde hesaplanır. Chi(x) ise yalnızca \(x > 0\) için gerçeldir (\(x < 0\) için \(-i\pi\) sanal bileşenini kazanır), bu nedenle tablo \(x \le 0\) olduğunda Chi'yi tanımsız olarak işaretler.
Ne kadar doğru sonuç verir? Orta büyüklükteki \(|x|\) değerlerinde (yaklaşık 10'a kadar) seri, tam çift duyarlıklı (double) hassasiyet sağlar; iterasyon yaklaşık 20-40 terimde yakınsar.
