Birinci tür tam eliptik integral nedir?
K(k) ile gösterilen birinci tür tam eliptik integral, \(d\theta / \sqrt{1 - k^{2}\cdot\sin^{2}\theta}\) ifadesinin 0'dan \(\pi/2\)'ye kadar integrali olarak tanımlanan klasik bir özel fonksiyondur. Bir sarkacın büyük genlikteki gerçek (tam) periyodunu, Neumann formülü aracılığıyla eş eksenli bobinlerin karşılıklı endüktansını, yay uzunluklarını ve eliptik çatlakların çevresindeki gerilme alanlarını hesaplamanız gerektiğinde karşınıza çıkar. Bu hesaplama aracı, verilen bir eliptik modül k için K(k)'nın gerçel değerini döndürür.
Kural: parametre m değil, modül k
Yaygın olarak kullanılan iki kural vardır. Bu araç doğrudan modül k değerini kullanır; dolayısıyla parametre \(m = k^{2}\) olur. Bu da şu anlama gelir: bu sitedeki K(k), MATLAB'in ellipke(m) fonksiyonunun \(m = k^{2}\) ile verdiği sonuca eşittir. Örneğin MATLAB'deki ellipke(0.5), burada \(k = \sqrt{0.5} \approx 0{,}7071\) girmenize karşılık gelir. Sayıları karşılaştırmadan önce kaynağın hangi kuralı kullandığını mutlaka teyit edin.
Nasıl kullanılır?
Eliptik modül k değerini \(-1 \le k \le 1\) aralığında girin ve K(k) sonucunu okuyun. K, k'ye göre çift bir fonksiyon olduğundan işaret önemli değildir (\(K(-k) = K(k)\)); araç içeride mutlak değeri alır. Fonksiyon \(|k| < 1\) için sonludur ve \(|k|\) değeri 1'e yaklaştıkça logaritmik olarak ıraksar.
Formül ve yöntem
Aritmetik-geometrik ortalamayı kullanıyoruz:
$$K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^{2}\,\sin^{2}\theta}} = \frac{\pi}{2\,\mathrm{AGM}\!\left(1,\;\sqrt{1 - k^{2}}\right)}$$\(a = 1\) ve \(b = \sqrt{1 - k^{2}}\) (tümleyen modül) değerlerinden başlayarak, bunları aritmetik ve geometrik ortalamalarıyla, eşitlenene kadar tekrar tekrar değiştirin. AGM ikinci dereceden (kuadratik) yakınsadığı için yaklaşık bir düzine yineleme tam çift duyarlık (double precision) sonucu verir.
Çözümlü örnek
\(k = 0{,}1\) için: \(m = 0{,}01\) olur ve tümleyen modül \(\sqrt{0{,}99} \approx 0{,}994987\)'dir. 1 ile 0,994987'nin AGM'i yaklaşık 0,9974921'e yakınsar. Buradan \(K(0{,}1) = \pi / (2 \times 0{,}9974921) \approx 1{,}5747456\) elde edilir.
Sıkça Sorulan Sorular
K(0) kaçtır? Tam olarak \(\pi/2 \approx 1{,}5707963\)'tür; çünkü bu durumda integrand 1'e indirgenir.
k = 1'de neden sonsuza gidiyor? Tümleyen modül 0 olur, \(\mathrm{AGM}(1,0) = 0\) olur ve K(k) logaritmik bir tekilliğe sahiptir; dolayısıyla \(K \rightarrow +\infty\).
|k| > 1 girebilir miyim? Hayır. \(-1 \le k \le 1\) aralığının dışında gerçel integral tanımsızdır; bu durumda bir karşıt-modül (reciprocal-modulus) dönüşümü gerekir, bu nedenle araç bu tür girdileri kabul etmez.
