什麼是第一類完全橢圓積分？
第一類完全橢圓積分記作 \(K(k)\)，是一個經典的特殊函數，定義為被積函數 \(d\theta / \sqrt{1 - k^{2}\cdot\sin^{2}\theta}\) 從 0 積分到 \(\pi/2\) 的結果。每當你需要計算單擺的精確（大擺幅）週期、利用紐曼公式（Neumann's formula）求同軸線圈的互感、各種弧長，或橢圓形裂紋周圍的應力場時，它都會登場。本計算器會回傳給定橢圓模數 \(k\) 所對應的 \(K(k)\) 實數值。
慣例說明：用模數 k，而非參數 m
業界常見兩種慣例。本工具直接採用模數 \(k\)，因此對應的參數為 \(m = k^{2}\)。也就是說，本站的 \(K(k)\) 等同於 MATLAB 的 ellipke(m)，其中 \(m = k^{2}\)。舉例來說，MATLAB 的 ellipke(0.5) 在這裡相當於輸入 \(k = \sqrt{0.5} \approx 0.7071\)。在比對數值之前，請務必確認你參考的資料採用的是哪一種慣例。
使用方法
在 \(-1 \le k \le 1\) 的範圍內輸入橢圓模數 \(k\)，即可讀取 \(K(k)\)。由於 K 對 \(k\) 為偶函數，正負號並不影響結果（\(K(-k) = K(k)\)）；本工具內部會自動取絕對值。當 \(|k| < 1\) 時函數為有限值；當 \(|k|\) 趨近 1 時，則以對數方式發散。
公式與計算方法
我們採用算術幾何平均法：
$$K(k) = \frac{\pi}{2\,\mathrm{AGM}\!\left(1,\;\sqrt{1 - k^{2}}\right)}$$從 \(a = 1\) 與 \(b = \sqrt{1 - k^{2}}\)（即互補模數）出發，反覆以兩者的算術平均與幾何平均取代它們，直到兩數收斂相等為止。AGM 為二次收斂，因此大約十多次迭代即可達到雙精度的完整精度。
實例演算
以 \(k = 0.1\) 為例：\(m = 0.01\)，互補模數為 \(\sqrt{0.99} \approx 0.994987\)。1 與 0.994987 的 AGM 收斂至約 0.9974921。於是
$$K(0.1) = \frac{\pi}{2 \times 0.9974921} \approx 1.5747456$$常見問題
K(0) 是多少？恰好等於 \(\pi/2 \approx 1.5707963\)，因為此時被積函數簡化為 1。
為什麼在 k = 1 時會發散？此時互補模數變為 0，\(\mathrm{AGM}(1,0) = 0\)，K(k) 出現對數奇異性，因此 \(K \rightarrow +\infty\)。
可以輸入 |k| > 1 嗎？不行。在 \(-1 \le k \le 1\) 之外，此實數積分沒有定義，需要改用倒數模數變換（reciprocal-modulus transformation），因此本工具會拒絕這類輸入。
