Что такое полный эллиптический интеграл первого рода?
Полный эллиптический интеграл первого рода, обозначаемый \(K(k)\), — это классическая специальная функция, заданная интегралом от \(d\theta / \sqrt{1 - k^{2}\cdot\sin^{2}\theta}\) в пределах от 0 до \(\pi/2\). Он возникает всюду, где нужен точный период колебаний маятника при больших амплитудах, взаимная индуктивность коаксиальных катушек по формуле Неймана, длины дуг и поля напряжений вокруг эллиптических трещин. Этот калькулятор возвращает вещественное значение \(K(k)\) для заданного эллиптического модуля \(k\).
Соглашение: модуль k, а не параметр m
Существует два распространённых соглашения. Здесь используется напрямую модуль \(k\), поэтому параметр равен \(m = k^{2}\). Это значит, что \(K(k)\) на нашем сайте совпадает с MATLAB-функцией ellipke(m) при \(m = k^{2}\). Например, MATLAB-вызову ellipke(0.5) здесь соответствует ввод \(k = \sqrt{0.5} \approx 0.7071\). Прежде чем сравнивать значения, всегда уточняйте, какое соглашение использует источник.
Как пользоваться калькулятором
Введите эллиптический модуль \(k\) в диапазоне \(-1 \le k \le 1\) и получите значение \(K(k)\). Поскольку функция \(K\) чётная по \(k\), знак не важен (\(K(-k) = K(k)\)) — калькулятор внутри берёт модуль. Функция конечна при \(|k| < 1\) и логарифмически расходится по мере приближения \(|k|\) к 1.
Формула и метод вычисления
Мы применяем арифметико-геометрическое среднее: $$K(k) = \frac{\pi}{2\,\mathrm{AGM}\!\left(1,\;\sqrt{1 - k^{2}}\right)}.$$ Начав с \(a = 1\) и \(b = \sqrt{1 - k^{2}}\) (дополнительный модуль), мы многократно заменяем их арифметическим и геометрическим средними, пока они не совпадут. AGM сходится квадратично, поэтому примерно десяти итераций достаточно для полной двойной точности.
Разобранный пример
Для \(k = 0.1\): \(m = 0.01\), а дополнительный модуль равен \(\sqrt{0.99} \approx 0.994987\). AGM чисел 1 и 0.994987 сходится примерно к 0.9974921. Тогда $$K(0.1) = \frac{\pi}{2 \times 0.9974921} \approx 1.5747456.$$
Частые вопросы
Чему равно \(K(0)\)? Ровно \(\pi/2 \approx 1.5707963\), поскольку подынтегральное выражение сводится к 1.
Почему функция уходит в бесконечность при \(k = 1\)? Дополнительный модуль обращается в 0, \(\mathrm{AGM}(1,0) = 0\), и \(K(k)\) имеет логарифмическую особенность, поэтому \(K \to +\infty\).
Можно ли ввести \(|k| > 1\)? Нет. Вне диапазона \(-1 \le k \le 1\) вещественный интеграл не определён; здесь требуется преобразование обратного модуля, поэтому калькулятор отклоняет такой ввод.
