Tích phân elliptic đầy đủ loại một là gì?
Tích phân elliptic đầy đủ loại một, ký hiệu \(K(k)\), là một hàm đặc biệt cổ điển được định nghĩa bằng tích phân của \(d\theta / \sqrt{1 - k^{2}\cdot\sin^{2}\theta}\) lấy từ 0 đến \(\pi/2\). Hàm này xuất hiện mỗi khi bạn cần tính chu kỳ chính xác (biên độ lớn) của con lắc, hỗ cảm của các cuộn dây đồng trục theo công thức Neumann, độ dài cung, hay trường ứng suất quanh các vết nứt dạng elip. Máy tính này trả về giá trị thực của \(K(k)\) ứng với một mô-đun elliptic \(k\) cho trước.
Quy ước: mô-đun k, không phải tham số m
Có hai quy ước thường gặp. Công cụ này dùng trực tiếp mô-đun \(k\), nên tham số tương ứng là \(m = k^{2}\). Điều đó có nghĩa \(K(k)\) trên trang này bằng với hàm ellipke(m) của MATLAB khi \(m = k^{2}\). Ví dụ, ellipke(0.5) trong MATLAB tương ứng với việc nhập \(k = \sqrt{0.5} \approx 0.7071\) tại đây. Hãy luôn kiểm tra xem tài liệu tham khảo đang dùng quy ước nào trước khi so sánh các con số.
Cách sử dụng
Nhập mô-đun elliptic \(k\) trong khoảng \(-1 \le k \le 1\) và đọc kết quả \(K(k)\). Vì \(K\) là hàm chẵn theo \(k\) nên dấu không quan trọng (\(K(-k) = K(k)\)); công cụ tự lấy giá trị tuyệt đối ở bên trong. Hàm hữu hạn khi \(|k| < 1\) và phân kỳ theo dạng logarit khi \(|k|\) tiến tới 1.
Công thức và phương pháp
Chúng tôi dùng trung bình số học – hình học:
$$K(k) = \frac{\pi}{2\,\mathrm{AGM}\!\left(1,\;\sqrt{1 - k^{2}}\right)}$$Bắt đầu với \(a = 1\) và \(b = \sqrt{1 - k^{2}}\) (mô-đun bù), ta lặp lại việc thay chúng bằng trung bình số học và trung bình hình học cho đến khi hai giá trị trùng nhau. AGM hội tụ bậc hai, nên chỉ khoảng mười mấy bước lặp là đủ đạt độ chính xác kép.
Ví dụ minh họa
Với \(k = 0.1\): \(m = 0.01\), và mô-đun bù là \(\sqrt{0.99} \approx 0.994987\). AGM của 1 và 0.994987 hội tụ về khoảng 0.9974921. Khi đó
$$K(0.1) = \frac{\pi}{2 \times 0.9974921} \approx 1.5747456$$Câu hỏi thường gặp
K(0) bằng bao nhiêu? Đúng bằng \(\pi/2 \approx 1.5707963\), vì biểu thức dưới dấu tích phân rút gọn về 1.
Tại sao giá trị tiến tới vô cực khi k = 1? Mô-đun bù trở thành 0, \(\mathrm{AGM}(1,0) = 0\), và \(K(k)\) có điểm kỳ dị logarit, nên \(K \to +\infty\).
Tôi có thể nhập |k| > 1 không? Không. Ngoài khoảng \(-1 \le k \le 1\) thì tích phân thực không xác định; khi đó cần một phép biến đổi mô-đun nghịch đảo, nên công cụ sẽ từ chối các giá trị này.
