Công cụ này làm được gì
Công cụ này giải các bất phương trình chứa trị tuyệt đối viết ở dạng chuẩn \(|ax + b|\) so sánh với \(c\), trong đó phép so sánh có thể là <, ≤, > hoặc ≥. Bạn chỉ cần nhập hệ số \(a\), hằng số bên trong \(b\), loại bất phương trình và giá trị \(c\) ở vế phải; máy tính sẽ trả về tập nghiệm chính xác dưới dạng một khoảng kèm theo các điểm biên của nó.
Cách sử dụng
Hãy chọn các giá trị sao cho bất phương trình của bạn khớp với dạng \(|ax + b| \mathbin{?} c\). Ví dụ, \(|2x - 4| \le 6\) nghĩa là \(a = 2\), \(b = -4\), loại "≤" và \(c = 6\). Nhấn gửi để xem khoảng nghiệm. Dấu ngoặc vuông [ ] cho biết điểm đầu mút được tính vào nghiệm (với ≤ hoặc ≥), còn dấu ngoặc tròn ( ) cho biết điểm đó bị loại trừ (với < hoặc >).
Giải thích công thức
Trị tuyệt đối đo khoảng cách đến số 0 nên không bao giờ âm. Với bất phương trình dạng "nhỏ hơn", \(|ax+b| < c\) có nghĩa là biểu thức nằm trong phạm vi cách 0 một khoảng nhỏ hơn \(c\), dẫn đến bất phương trình kép $$-c < ax+b < c$$ Giải theo \(x\) ta được một khoảng bị chặn duy nhất nằm giữa $$|ax+b| < c \;\Longleftrightarrow\; \frac{-c-b}{a} < x < \frac{c-b}{a}$$ Với bất phương trình dạng "lớn hơn", biểu thức phải cách 0 xa hơn \(c\), nên nó tách thành hai nhánh: $$|ax+b| > c \;\Longleftrightarrow\; x < \tfrac{-c-b}{a}\ \text{or}\ x > \tfrac{c-b}{a}$$ tạo ra hợp của hai khoảng. Các trường hợp đặc biệt: nếu \(c\) âm thì dạng "nhỏ hơn" vô nghiệm, trong khi dạng "lớn hơn" được thỏa mãn với mọi số thực.
Ví dụ minh họa
Giải \(|2x - 4| \le 6\). Ở đây \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 6\). Viết lại: $$-6 \le 2x - 4 \le 6$$ Cộng 4 vào cả ba vế: $$-2 \le 2x \le 10$$ Chia cho 2: $$-1 \le x \le 5$$ Vậy tập nghiệm là khoảng đóng \([-1, 5]\).
Các Thuật Ngữ & Ký Hiệu Chính
- Giá trị tuyệt đối \(|u|\)
- Khoảng cách của một số từ không trên trục số, luôn không âm. Ví dụ \(|-3| = 3\) và \(|5| = 5\). Vì nó là một khoảng cách, \(|u| \ge 0\) cho mọi giá trị của \(u\).
- Điểm biên
- Một giá trị của \(x\) mà biểu thức giá trị tuyệt đối chính xác bằng \(c\) — điểm chia ranh giới giữa lời giải và không phải lời giải. Chúng được tìm thấy bằng cách giải phương trình liên quan \(|ax+b| = c\).
- Khoảng mở
- Một khoảng không bao gồm các điểm cuối của nó, được sử dụng cho các bất đẳng thức nghiêm ngặt (\(<, >\)). Viết bằng dấu ngoặc tròn, ví dụ \((-1, 5)\).
- Khoảng đóng
- Một khoảng có bao gồm các điểm cuối của nó, được sử dụng cho các bất đẳng thức bao hàm (\(\le, \ge\)). Viết bằng dấu ngoặc vuông, ví dụ \([-1, 5]\).
- Dấu ngoặc vuông \([\;]\) so với dấu ngoặc tròn \((\;)\)
- Dấu ngoặc vuông có nghĩa là điểm cuối là một phần của lời giải (\(\le\) hoặc \(\ge\)); dấu ngoặc tròn có nghĩa là điểm cuối bị loại trừ (\(<\) hoặc \(>\)). Vô cực luôn sử dụng dấu ngoặc tròn.
- Hợp \(\cup\)
- Kết hợp hai tập hợp riêng biệt thành một lời giải. Một bất đẳng thức giá trị tuyệt đối "lớn hơn" tạo ra một hợp của hai tia, ví dụ \((-\infty,-1)\cup(5,\infty)\).
- Phép hội ("và") so với phép tuyển ("hoặc")
- Một phép hội yêu cầu cả hai điều kiện đồng thời xảy ra và tạo ra một khoảng bị giới hạn duy nhất (trường hợp "\(<\)"). Một phép tuyển chỉ yêu cầu một điều kiện và tạo ra một hợp của hai tia (trường hợp "\(>\)").
- Các hệ số \(a\), \(b\), \(c\)
- Trong \(|ax+b| \;\square\; c\): \(a\) là hệ số nhân với \(x\) bên trong các dấu thanh, \(b\) là hằng số được cộng bên trong các dấu thanh, và \(c\) là giá trị ở vế phải mà giá trị tuyệt đối được so sánh với.
Câu hỏi thường gặp
Nếu \(a\) âm thì sao? Máy tính tự động xử lý bằng cách sắp xếp hai giá trị biên từ nhỏ đến lớn, nên khoảng nghiệm luôn được trình bày đúng.
Vì sao \(|ax+b| < 0\) vô nghiệm? Vì trị tuyệt đối không bao giờ âm, nên nó không thể nhỏ hơn một số âm (hay nhỏ hơn 0).
Ký hiệu ∪ nghĩa là gì? Đó là ký hiệu hợp, cho biết đáp án gồm hai khoảng riêng biệt được gộp lại với nhau, điều này xảy ra với các bất phương trình dạng lớn hơn.
