Tích phân elliptic hoàn chỉnh loại hai là gì?
Tích phân elliptic hoàn chỉnh loại hai, ký hiệu \(E(k)\), là một hàm đặc biệt được định nghĩa bằng tích phân của căn bậc hai của (1 trừ k bình phương nhân sin bình phương theta) lấy từ 0 đến pi/2. Hàm này xuất hiện mỗi khi bạn cần tính chính xác chu vi của một hình elip, độ dài cung của một đường hình sin, chu kỳ của con lắc dao động biên độ lớn, hay hệ số cường độ ứng suất cho các vết nứt hình elip. Đầu vào \(k\) được gọi là mô-đun và phải nằm trong khoảng từ -1 đến 1.
$$E(\text{k}) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}\; d\theta$$
Cách dùng máy tính này
Hãy nhập mô-đun \(k\) (một số không thứ nguyên từ -1 đến 1) và đọc kết quả \(E(k)\). Vì biểu thức dưới dấu tích phân chỉ phụ thuộc vào k bình phương nên kết quả có tính đối xứng: \(E(-k) = E(k)\). Hàm này giảm dần một cách đều đặn từ \(E(0) = \pi/2\) xuống tới \(E(1) = 1\). Lưu ý rằng công cụ này nhận trực tiếp mô-đun \(k\), chứ không phải tham số \(m = k^2\) mà một số tài liệu hay sử dụng.
Giải thích công thức
Chúng ta tính \(E(k)\) bằng phương pháp trung bình cộng - nhân (AGM), vốn hội tụ bậc hai. Đặt \(a_0 = 1\), \(b_0 = \sqrt{1 - k^2}\), \(c_0 = k\). Mỗi bước tính \(a = (a+b)/2\), \(b = \sqrt{a\cdot b}\) và \(c = (a-b)/2\) cho đến khi \(c\) nhỏ không đáng kể. Khi đó \(K(k) = \pi / (2\cdot a_N)\) là tích phân loại một, và \(E(k) = K(k)\cdot(1 - (1/2)\cdot\sum 2^n \cdot c_n^2)\). Cách làm này tránh được các chuỗi lũy thừa hội tụ chậm và đạt độ chính xác đến cấp máy chỉ sau vài vòng lặp.
Ví dụ minh họa
Với \(k = 0.1\), ta có \(m = 0.01\). AGM cho \(a_N \approx 0.997492\) và tổng c bình phương \(S \approx 0.01001256\), nên \(K \approx 1.5747456\) và \(E = K(1 - 0.5\cdot S) \approx 1.566862\). Kết quả này khớp với phép xấp xỉ bằng chuỗi $$E(\text{k}) \approx \frac{\pi}{2}\left(1 - \frac{1}{4}\text{k}^2 - \frac{3}{64}\text{k}^4\right).$$
Câu hỏi thường gặp
E(0) bằng bao nhiêu? Đúng bằng \(\pi/2 \approx 1.5707963\), vì lúc này biểu thức dưới dấu tích phân rút gọn về 1.
E(1) bằng bao nhiêu? Đúng bằng 1, vì biểu thức dưới dấu tích phân trở thành \(\cos\theta\), mà tích phân của nó từ 0 đến \(\pi/2\) bằng 1.
Tại sao k bị giới hạn trong khoảng -1 và 1? Ngoài khoảng này, biểu thức dưới dấu tích phân trở thành số ảo với một số giá trị theta, nên \(E(k)\) không còn là một số thực nữa.
