परिणाम

पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल E(k)

1.566861942022

विमारहित

विधि	समांतर-गुणोत्तर माध्य (AGM)
परास	1 ≤ E(k) ≤ π/2

द्वितीय प्रकार का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल क्या है?

द्वितीय प्रकार का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल, जिसे $E(k)$ लिखा जाता है, एक विशेष फलन है। इसे 0 से π/2 तक (1 घटा k-वर्ग गुणा sin-वर्ग थीटा) के वर्गमूल के समाकलन से परिभाषित किया जाता है:

$$E(\text{k}) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}\; d\theta$$

यह फलन तब काम आता है जब आपको किसी दीर्घवृत्त का सटीक परिमाप, साइन तरंग की चाप-लंबाई, बड़े आयाम वाले लोलक का आवर्तकाल, या दीर्घवृत्तीय दरारों के लिए प्रतिबल-तीव्रता गुणांक निकालने हों। यहाँ इनपुट $k$ को मापांक (modulus) कहते हैं, और इसका मान -1 और 1 के बीच होना चाहिए।

अर्ध-अक्ष a और b वाला चौथाई दीर्घवृत्त, चाप लंबाई उजागर — $E(k)$ चौथाई दीर्घवृत्त की चाप लंबाई देता है, यही इसका मुख्य ज्यामितीय अर्थ है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

मापांक $k$ दर्ज करें (एक विमारहित संख्या जो -1 से 1 के बीच हो) और $E(k)$ का मान देख लें। चूँकि समाकलनीय राशि केवल k-वर्ग पर निर्भर करती है, इसलिए परिणाम सममित होता है: $E(-k) = E(k)$। यह फलन $E(0) = \pi/2$ से लेकर $E(1) = 1$ तक सहजता से घटता जाता है। ध्यान दें कि यह उपकरण सीधे मापांक $k$ लेता है, न कि कुछ संदर्भों में प्रयुक्त प्राचल $m = k^2$।

सूत्र की व्याख्या

हम $E(k)$ का मान समांतर-गुणोत्तर माध्य (AGM) से निकालते हैं, जो द्विघातीय रूप से अभिसरित होता है। मान लीजिए $a_0 = 1$, $b_0 = \sqrt{1 - k^2}$, $c_0 = k$। प्रत्येक चरण में $a = (a+b)/2$, $b = \sqrt{a \cdot b}$, और $c = (a-b)/2$ की गणना की जाती है, जब तक $c$ नगण्य न हो जाए। इसके बाद प्रथम प्रकार का समाकल $K(k) = \pi / (2 \cdot a_N)$ मिलता है, और $E(k) = K(k) \cdot (1 - (1/2) \cdot 2^n \cdot c_n^2$ का योग)। यह विधि धीमे अभिसरण वाली घात श्रेणियों से बचाती है और केवल कुछ ही पुनरावृत्तियों में मशीन-परिशुद्धता तक सटीक होती है।

0 से π/2 तक समाकलन वक्र के नीचे छायांकित क्षेत्र — $E(k)$ 0 से π/2 तक समाकलन के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर है।

हल किया हुआ उदाहरण

$k = 0.1$ के लिए, $m = 0.01$। AGM से $a_N \approx 0.997492$ और c-वर्ग का योग $S \approx 0.01001256$ मिलता है, इसलिए $K \approx 1.5747456$ और $E = K(1 - 0.5 \cdot S) \approx 1.566862$। यह श्रेणी सन्निकटन $E(k) \approx (\pi/2)(1 - (1/4)k^2 - (3/64)k^4)$ से मेल खाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

$E(0)$ क्या है? ठीक $\pi/2 \approx 1.5707963$, क्योंकि तब समाकलनीय राशि घटकर 1 रह जाती है।

$E(1)$ क्या है? ठीक 1, क्योंकि तब समाकलनीय राशि $\cos\theta$ बन जाती है, जिसका 0 से π/2 तक समाकलन 1 होता है।

$k$ केवल -1 और 1 तक ही सीमित क्यों है? इस परास के बाहर कुछ थीटा मानों के लिए समाकलनीय राशि काल्पनिक हो जाती है, जिससे $E(k)$ एक वास्तविक संख्या नहीं रह जाती।

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