Что такое полный эллиптический интеграл второго рода?
Полный эллиптический интеграл второго рода, обозначаемый \(E(k)\), — это специальная функция, заданная интегралом от квадратного корня выражения (1 − k² · sin²θ) в пределах от 0 до π/2:
$$E(\text{k}) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}\; d\theta$$Он возникает всюду, где нужно точно вычислить периметр эллипса, длину дуги синусоиды, период колебаний маятника с большой амплитудой или коэффициенты интенсивности напряжений для трещин эллиптической формы. Аргумент \(k\) называется модулем и должен лежать в диапазоне от −1 до 1.
Как пользоваться калькулятором
Введите модуль \(k\) (безразмерное число от −1 до 1) и получите значение \(E(k)\). Поскольку подынтегральное выражение зависит только от \(k^2\), результат симметричен: \(E(-k) = E(k)\). Функция плавно убывает от \(E(0) = \pi/2\) до \(E(1) = 1\). Обратите внимание: калькулятор принимает именно модуль \(k\), а не параметр \(m = k^2\), который используется в некоторых источниках.
Разбор формулы
Мы вычисляем \(E(k)\) методом арифметико-геометрического среднего (АГС), который сходится квадратично. Задаём \(a_0 = 1\), \(b_0 = \sqrt{1 - k^2}\), \(c_0 = k\). На каждом шаге вычисляем \(a = (a + b)/2\), \(b = \sqrt{a \cdot b}\) и \(c = (a - b)/2\), пока \(c\) не станет пренебрежимо малой. Тогда \(K(k) = \pi / (2 \cdot a_N)\) — это интеграл первого рода, а \(E(k) = K(k) \cdot (1 - (1/2) \cdot \sum 2^n \cdot c_n^2)\). Такой подход позволяет обойтись без медленно сходящихся степенных рядов и достигает машинной точности всего за несколько итераций.
Разбор примера
Для \(k = 0{,}1\) имеем \(m = 0{,}01\). АГС даёт \(a_N \approx 0{,}997492\), а сумма квадратов \(S \approx 0{,}01001256\), поэтому \(K \approx 1{,}5747456\) и \(E = K(1 - 0{,}5 \cdot S) \approx 1{,}566862\). Это совпадает с приближением по ряду \(E(k) \approx (\pi/2)(1 - (1/4)k^2 - (3/64)k^4)\).
Частые вопросы
Чему равно \(E(0)\)? Ровно \(\pi/2 \approx 1{,}5707963\), так как подынтегральное выражение обращается в 1.
Чему равно \(E(1)\)? Ровно 1, поскольку подынтегральное выражение превращается в \(\cos\theta\), а его интеграл от 0 до π/2 равен 1.
Почему \(k\) ограничен значениями от −1 до 1? За пределами этого диапазона подынтегральное выражение при некоторых \(\theta\) становится мнимым, и \(E(k)\) перестаёт быть действительным числом.
