¿Qué es la integral elíptica completa de segunda especie?
La integral elíptica completa de segunda especie, que se escribe \(E(k)\), es la función especial definida como la integral de la raíz cuadrada de (1 menos k al cuadrado por seno al cuadrado de theta), evaluada entre 0 y pi/2. Aparece siempre que necesitas el perímetro exacto de una elipse, la longitud de arco de una onda senoidal, el periodo de un péndulo de gran amplitud o los factores de intensidad de tensiones en grietas elípticas. La entrada \(k\) se denomina módulo y debe situarse entre -1 y 1.
$$E(\text{k}) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}\; d\theta$$
Cómo usar esta calculadora
Introduce el módulo \(k\) (un número adimensional entre -1 y 1) y obtén \(E(k)\) al instante. Como el integrando depende únicamente de \(k^2\), el resultado es simétrico: \(E(-k) = E(k)\). La función decrece de forma suave desde \(E(0) = \pi/2\) hasta \(E(1) = 1\). Ten en cuenta que esta herramienta utiliza directamente el módulo \(k\), y no el parámetro \(m = k^2\) que emplean algunas referencias.
La fórmula explicada
Calculamos \(E(k)\) mediante la media aritmético-geométrica (AGM), que converge de forma cuadrática. Partimos de \(a_0 = 1\), \(b_0 = \sqrt{1 - k^2}\), \(c_0 = k\). En cada paso se calcula \(a = (a+b)/2\), \(b = \sqrt{a \cdot b}\) y \(c = (a-b)/2\) hasta que \(c\) resulta despreciable. Entonces \(K(k) = \pi / (2 \cdot a_N)\) es la integral de primera especie, y \(E(k) = K(k) \cdot (1 - \tfrac{1}{2} \sum 2^n \cdot c_n^2)\). Este enfoque evita las series de potencias de convergencia lenta y alcanza la precisión de máquina en apenas unas pocas iteraciones.
Ejemplo resuelto
Para \(k = 0{,}1\), tenemos \(m = 0{,}01\). La AGM da \(a_N \approx 0{,}997492\) y la suma de los términos c al cuadrado \(S \approx 0{,}01001256\), de modo que \(K \approx 1{,}5747456\) y \(E = K(1 - 0{,}5 \cdot S) \approx 1{,}566862\). Este valor coincide con la aproximación en serie $$E(k) \approx \frac{\pi}{2}\left(1 - \frac{1}{4}k^2 - \frac{3}{64}k^4\right).$$
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale \(E(0)\)? Exactamente \(\pi/2 \approx 1{,}5707963\), ya que el integrando se reduce a 1.
¿Cuánto vale \(E(1)\)? Exactamente 1, porque el integrando se convierte en \(\cos\theta\), cuya integral entre 0 y \(\pi/2\) es 1.
¿Por qué \(k\) está limitado al intervalo de -1 a 1? Fuera de este rango el integrando se vuelve imaginario para algunos valores de \(\theta\), por lo que \(E(k)\) deja de ser un número real.
