Qué hace esta calculadora
Esta herramienta construye una tabla de las dos integrales elípticas completas: \(K(k)\), la de primera especie, y \(E(k)\), la de segunda especie, evaluadas a lo largo de una secuencia de valores del módulo \(k\). Solo tienes que indicar un valor de partida, el tamaño del paso y cuántas filas quieres; la calculadora hace avanzar \(k\) desde el valor inicial, sumando el paso en cada fila, y muestra \(K(k)\) y \(E(k)\) en todas ellas. Se trata de matemática pura (funciones especiales), por lo que el resultado es idéntico en cualquier país.
Cómo usarla
Introduce el valor inicial de \(k\) (el módulo, una razón adimensional con \(-1 \le k \le 1\)), el incremento que se suma a \(k\) en cada fila (puede ser negativo) y el número de repeticiones (filas, un entero \(\ge 1\)). Por ejemplo, con un inicial de 0, un paso de 0,02 y 51 filas, \(k\) recorre desde 0,00 hasta 1,00. Las integrales dependen únicamente de \(k\) al cuadrado, así que un valor negativo de \(k\) da los mismos resultados que su equivalente positivo.
La fórmula explicada
Aquí el argumento es el módulo \(k\), no el parámetro \(m = k^2\). En forma integral, \(K(k)\) es la integral desde 0 hasta \(\pi/2\) de \(d\theta / \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\), y \(E(k)\) es la integral de \(\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\; d\theta\) en el mismo intervalo. Las evaluamos con la media aritmético-geométrica (AGM, por sus siglas en inglés), un método rápido y de alta precisión:
$$K(k) = \frac{\pi}{2 \cdot \text{AGM}(1, \sqrt{1 - k^2})}$$Para \(E\) acumulamos los términos \(c\) de la AGM: \(E(k) = K(k) \cdot \left(1 - \sum 2^{n-1} c_n^2\right)\) con \(c_0^2 = k^2\).
Ejemplo resuelto
Para \(k = 0{,}5\): \(1 - k^2 = 0{,}75\), \(\sqrt{0{,}75} = 0{,}8660254\). \(\text{AGM}(1,\ 0{,}8660254) \approx 0{,}9318082\), por lo que
$$K(0{,}5) = \frac{\pi}{2 \cdot 0{,}9318082} = 1{,}6857503548$$La suma de los términos \(c\) es \(\approx 0{,}1339804\), lo que da
$$E(0{,}5) = 1{,}6857503548 \cdot (1 - 0{,}1339804) = 1{,}4603362889$$Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando \(k = 1\)? \(K(1)\) diverge hacia el infinito; \(E(1) = 1\) exactamente. En ese caso límite la tabla muestra «Infinito» para \(K\) y 1 para \(E\), en lugar de fallar.
¿La calculadora usa \(k\) o \(m\)? Usa el módulo \(k\). Si dispones del parámetro \(m\), calcula su raíz cuadrada (\(k = \sqrt{m}\)) antes de introducirlo.
¿Y si \(|k| > 1\)? Eso queda fuera del dominio real \(-1 \le k \le 1\); esas filas se marcan como fuera de dominio.
