¿Qué son las integrales de Fresnel?
Las integrales de Fresnel \(S(x)\) y \(C(x)\) son funciones especiales que aparecen en numerosos campos de la óptica (la difracción en campo cercano en bordes y aberturas), el electromagnetismo y el diseño de curvas de transición en carreteras y vías férreas. Si representamos \(C(x)\) en el eje horizontal frente a \(S(x)\) en el vertical, obtenemos la elegante espiral de Cornu (o de Euler). Esta calculadora evalúa ambas integrales para cualquier argumento real \(x\).
La fórmula y las convenciones
Esta herramienta utiliza por defecto la convención normalizada (pi/2), la forma más extendida:
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$$
La opción sin normalizar sustituye el argumento del integrando \(\frac{\pi}{2}t^{2}\) por simplemente \(t^{2}\). Ambas funciones son impares: \(S(-x) = -S(x)\) y \(C(-x) = -C(x)\). Cuando \(x\) tiende a \(+\infty\), tanto \(S\) como \(C\) se aproximan a \(1/2\).
Cómo utilizarla
Introduce tu valor de \(x\), elige la convención y consulta \(S(x)\) y \(C(x)\) con varias cifras significativas. Para \(x = 0\) ambas integrales valen exactamente \(0\). Los argumentos negativos aprovechan automáticamente la propiedad de imparidad.
Cómo se calcula
No existe ninguna forma cerrada elemental, así que la calculadora aplica la regla de Simpson compuesta sobre el intervalo \([0, |x|]\) con una malla muy fina (al menos 1000 subintervalos, que aumentan con \(|x|\) para seguir el ritmo de unas oscilaciones cada vez más rápidas). El signo de \(x\) se aplica después, ya que los integrandos son impares. De este modo se reproducen los valores de referencia publicados con una precisión de unas seis cifras decimales para valores moderados de \(|x|\).
Ejemplo resuelto
Para \(x = 1\) en la convención normalizada: \(C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^{2}\right)dt\) vale aproximadamente \(0{,}7798934\), y \(S(1)\) ronda \(0{,}4382591\). En \(x = 2\), \(C(2)\) es aproximadamente \(0{,}488253\) y \(S(2)\) ronda \(0{,}343416\).
Preguntas frecuentes
¿Qué convención debería usar? La mayoría de los textos de física e ingeniería (y las tablas de difracción) emplean la forma normalizada \(\pi/2\), que es la opción por defecto aquí.
¿Qué es la espiral de Cornu? Es la curva paramétrica \((C(x), S(x))\); al crecer \(x\), se enrolla hacia los puntos \((1/2, 1/2)\) y \((-1/2, -1/2)\).
¿Qué precisión tiene el resultado? La regla de Simpson con la malla elegida suele coincidir con las tablas de referencia en unas seis cifras decimales para \(|x|\) de hasta aproximadamente \(6\).
