フレネル積分とは
フレネル積分 \(S(x)\)・\(C(x)\) は、光学（エッジや開口部での近接場回折）、電磁気学、さらには道路や鉄道の緩和曲線（クロソイド曲線）の設計など、幅広い分野に登場する特殊関数です。横軸に \(C(x)\)、縦軸に \(S(x)\) をとってプロットすると、美しいコルニュ螺旋（オイラー螺旋）が描かれます。この計算機では、任意の実数引数 \(x\) に対して両方の積分値を求められます。
定義式と方式
本ツールは、最も広く用いられている正規化方式（π/2）を初期設定としています。
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$$
非正規化方式を選ぶと、被積分関数の引数 \((\pi/2)t^{2}\) が単に \(t^{2}\) に置き換わります。いずれの関数も奇関数であり、\(S(-x) = -S(x)\)、\(C(-x) = -C(x)\) が成り立ちます。\(x \to +\infty\) のとき、\(S\) と \(C\) はともに \(1/2\) に収束します。
使い方
\(x\) の値を入力し、方式を選んでから、\(S(x)\) と \(C(x)\) の値を有効数字数桁まで読み取ります。\(x = 0\) のとき、両積分はともに正確に \(0\) です。負の引数については、奇関数の性質が自動的に適用されます。
計算方法
初等関数による閉じた式は存在しないため、本計算機は区間 \([0, |x|]\) 上で複合シンプソン則を用いて数値積分を行います。グリッドは十分に細かく（最低でも 1000 分割し、\(|x|\) が大きくなるにつれて増加する激しい振動に追従するよう、\(|x|\) に応じて分割数を増やします）設定しています。被積分関数が奇関数であるため、\(x\) の符号は計算後に適用されます。これにより、中程度の \(|x|\) に対して、公表されている参照値とおよそ小数第6位まで一致する精度が得られます。
計算例
正規化方式における \(x = 1\) の場合：\(C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt \approx 0.7798934\)、\(S(1) \approx 0.4382591\) となります。\(x = 2\) では、\(C(2) \approx 0.488253\)、\(S(2) \approx 0.343416\) です。
よくある質問
どちらの方式を使えばよいですか？ 物理学・工学の多くの教科書（および回折に関する数表）では正規化された π/2 方式が用いられており、本ツールでもこれを初期設定としています。
コルニュ螺旋とは何ですか？ 媒介変数曲線 \((C(x), S(x))\) のことです。\(x\) が大きくなるにつれて、点 \((1/2, 1/2)\) および \((-1/2, -1/2)\) に向かって渦を巻きながら収束します。
結果の精度はどの程度ですか？ 設定したグリッドによるシンプソン則では、\(|x|\) がおよそ 6 までの範囲で、参照数表とおよそ小数第6位まで一致します。
