ما هي تكاملات فرينل؟
تكاملا فرينل \(S(x)\) و\(C(x)\) دالتان خاصتان تظهران في كثير من مجالات البصريات (حيود المجال القريب عند الحواف والفتحات)، والكهرومغناطيسية، وتصميم المنحنيات الانتقالية للطرق السريعة والسكك الحديدية. وعند رسم \(C(x)\) على المحور الأفقي مقابل \(S(x)\) على المحور الرأسي، نحصل على لولب كورنو (أويلر) الأنيق. تحسب هذه الأداة كلا التكاملين لأي وسيطة حقيقية \(x\).
الصيغة والاصطلاحات
تعتمد هذه الأداة افتراضيًا على الصيغة المعيارية (pi/2)، وهي الأكثر شيوعًا واستخدامًا:
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$$هناك خيار غير معياري يستبدل وسيطة الدالة المُكامَلة \(\frac{\pi}{2}t^{2}\) بـ \(t^{2}\) فقط. وكلتا الدالتين فردية: \(S(-x) = -S(x)\) و\(C(-x) = -C(x)\). وعندما تؤول \(x\) إلى \(+\infty\)، تقترب كل من \(S\) و\(C\) من القيمة \(1/2\).
كيفية الاستخدام
أدخل قيمة \(x\)، واختر الاصطلاح، ثم اقرأ قيمتي \(S(x)\) و\(C(x)\) بعدة أرقام معنوية. عند \(x = 0\) يساوي كلا التكاملين صفرًا تمامًا. أما الوسيطات السالبة فتُعالَج تلقائيًا اعتمادًا على خاصية الفردية.
كيف يتم الحساب
لا توجد صيغة مغلقة بسيطة لهذين التكاملين، لذا تستخدم الحاسبة قاعدة سيمبسون المركّبة على المجال \([0, |x|]\) بشبكة دقيقة (1000 جزء فرعي على الأقل، تتزايد مع \(|x|\) لمواكبة التذبذب المتسارع). ويُطبَّق إشارة \(x\) بعد ذلك لأن الدالتين المُكامَلتين فرديتان. وتعيد هذه الطريقة القيم المرجعية المنشورة بدقة تقارب ستة أرقام عشرية لقيم \(|x|\) المعتدلة.
مثال محلول
عند \(x = 1\) في الصيغة المعيارية: \(C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^{2}\right)dt\) تساوي نحو \(0.7798934\)، و\(S(1)\) تساوي نحو \(0.4382591\). وعند \(x = 2\)، تكون \(C(2)\) نحو \(0.488253\) و\(S(2)\) نحو \(0.343416\).
الأسئلة الشائعة
أي اصطلاح ينبغي أن أستخدم؟ معظم مراجع الفيزياء والهندسة (وجداول الحيود) تستخدم الصيغة المعيارية \(\pi/2\)، وهي الافتراضية هنا.
ما هو لولب كورنو؟ هو المنحنى الوسيطي \((C(x), S(x))\)؛ ويلتف نحو النقطتين \((1/2, 1/2)\) و\((-1/2, -1/2)\) كلما كبرت قيمة \(x\).
ما مدى دقة النتيجة؟ تطابق قاعدة سيمبسون بالشبكة المختارة الجداول المرجعية عادةً بنحو ستة أرقام عشرية لقيم \(|x|\) حتى نحو 6.
