ما هي القبة الكروية (القطعة الكروية)؟
القطعة الكروية هي المجسّم الذي تحصل عليه عندما تُقطع كرة نصف قطرها r بمستوٍ أفقي واحد، فتحتفظ بالجزء على شكل قبة الواقع فوق ذلك المستوى (أو تحته). يُقاس ارتفاعها h من سطح القطع المستوي حتى قمّة الكرة. تقتصر هذه الأداة على أن يكون h لا يتجاوز r، وبذلك يكون أكبر مجسّم ممكن هو نصف الكرة تمامًا. أما دائرة القطع المستوية فنصف قطرها a، حيث \(a^{2} = h(2r - h)\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نصف قطر الكرة r وارتفاع القبة h بوحدة الطول نفسها (سنتيمترات أو إنشات أو أمتار — الخيار لك؛ وتأتي النتائج بهذه الوحدة مكعّبة ومربّعة). تأكّد من أن 0 < h ≤ r. تُعيد الحاسبة الحجم، ومساحة السطح الكلية (القبة المنحنية مضافًا إليها القاعدة المستوية)، إلى جانب قيم وسيطة مفيدة مثل مساحة القبة، ومساحة قرص القاعدة، ونصف قطر دائرة القاعدة a.
شرح المعادلات
حجم القطعة هو $$V = \frac{\pi\, h^{2}}{3}\left(3\,r - h\right)$$. أما السطح الكروي المنحني فهو النطاق الكروي \(2\pi r h\)، وهي نتيجة أنيقة تعود إلى أرخميدس. والقاعدة المستوية دائرة مساحتها \(\pi a^{2} = \pi h(2r - h)\). وبجمع هذين القيمتين نحصل على مساحة السطح الكلية $$S = 2\pi r h + \pi h(2r - h) = \pi h(4r - h)$$.
مثال محلول
عند r = 1 و h = 0.5: نجد \(a = \sqrt{0.5 \times 1.5} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660\). والحجم $$V = \pi \times \frac{0.25}{3} \times 2.5 = \pi \times 0.20833 \approx 0.65450$$ ومساحة السطح المنحني \(= 2\pi \times 1 \times 0.5 = \pi \approx 3.14159\). ومساحة القاعدة \(= 0.75\pi \approx 2.35619\). والمساحة الكلية $$S = \pi \times 0.5 \times 3.5 = 1.75\pi \approx 5.49779$$
الأسئلة الشائعة
لماذا يقتصر h على r؟ تحاكي الأداة الأصلية حالة "نصف كرة على الأكثر"، لذا تضع حدًّا أعلى للارتفاع عند نصف قطر الكرة. رياضيًّا يمكن أن يصل ارتفاع القطعة حتى 2r، لكن هذه النسخة تبقى ضمن النطاق \(h \le r\).
هل تشمل مساحة السطح القرص المستوي؟ نعم. مساحة السطح الكلية المعروضة تشمل القبة المنحنية إضافةً إلى دائرة القطع المستوية. وإذا كنت تحتاج إلى القبة فقط، فاستخدم صفّ المساحة المنحنية.
ماذا يحدث عند h = r؟ تحصل على نصف كرة كامل: \(V = \tfrac{2}{3}\pi r^{3}\)، والقبة \(= 2\pi r^{2}\)، والقاعدة \(= \pi r^{2}\).
