ما هي حاسبة جدول التكامل الأسي Ei(x)؟
تُنشئ هذه الأداة جدولًا لقيم التكامل الأسي Ei(x) عبر متتالية من قيم x متساوية المسافات. أنت تختار قيمة البداية، ومقدار الخطوة، وعدد النقاط التي تريدها، فتحسب الأداة قيمة Ei عند كل x. والتكامل الأسي دالة خاصة تظهر في مجالات الفيزياء والهندسة كافة، بما في ذلك الانتقال الإشعاعي، ومحاكاة الحزم الإلكترونية، والتحليل المقارب للتكاملات.
كيفية الاستخدام
أدخل القيمة الأولية لـ x (الصف الأول)، والمقدار المُضاف إلى x في كل صف لاحق، وعدد النقاط (الصفوف). تكون قيمة x في الصف n هي \(x_n = \text{startX} + n \cdot \text{stepX}\) حيث \(n = 0, 1, \dots, \text{pointCount}-1\). تُرجِع الحاسبة كل زوج (x، Ei(x)) إضافةً إلى ملخص سريع لأول صف وآخره. الخطوة المساوية للصفر تنتج عمودًا ثابتًا؛ أما x = 0 فغير معرّفة لأن Ei تملك شذوذًا لوغاريتميًا عند تلك النقطة.
شرح الصيغة
المتسلسلة المتقاربة المستخدمة هي
$$\operatorname{Ei}(x_n) = \gamma + \ln|x_n| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_n^{\,k}}{k \cdot k!}$$حيث gamma هو ثابت أويلر-ماسكيروني \(\gamma \approx 0.5772156649\). وتعمل القيمة المطلقة في \(\ln|x|\) مع قوى x المتعاقبة على إنتاج Ei بشكل صحيح على الفرعين الموجب والسالب معًا. أما عند القيم الكبيرة لـ \(|x|\) (تتجاوز نحو 40) فتعاني المتسلسلة من إلغاء حدودها، لذا يُستخدم بدلًا منها التمدد المقارب \(\operatorname{Ei}(x) \sim \frac{e^x}{x} \sum \frac{n!}{x^n}\).
مثال محلول
عند x = 1: تكون \(\ln|1| = 0\) ومجموع المتسلسلة نحو 1.3179022، إذن
$$\operatorname{Ei}(1) = 0.5772157 + 0 + 1.3179022 = 1.8951178$$وهي تطابق القيمة المجدولة المعيارية. وبالمثل \(\operatorname{Ei}(2) = 4.9542344\) و \(\operatorname{Ei}(-1) = -0.2193839\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون x = 0 غير معرّفة؟ تملك Ei(x) شذوذًا لوغاريتميًا عند نقطة الأصل (تتباعد \(\ln|x|\))، لذا تُسجَّل القيمة على أنها ليست عددًا (not-a-number).
ما مدى دقة الجدول؟ تعيد المتسلسلة إنتاج قيم Ei المعيارية بدقة تقارب دقة الآلة عند القيم المتوسطة لـ \(|x|\)، مع وجود بديل مقارب يحافظ على استقرار الوسائط الكبيرة.
كيف تختلف Ei عن E1؟ ترتبطان بالعلاقة \(\operatorname{Ei}(x) = -E_1(-x)\) عندما \(x < 0\)؛ وتُرجِع هذه الحاسبة القيمة الأساسية (principal-value) لـ Ei.
