ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة حساب التكامل المحدد لدالة f(x) عددياً على خط الأعداد الحقيقية بأكمله، من سالب اللانهاية إلى موجب اللانهاية، باستخدام تربيع الأُسّ المزدوج (DE) — المعروف أيضاً بعائلة tanh-sinh أو طريقة تاكاهاسي-موري. يُعدّ تربيع الأُسّ المزدوج من أكفأ الطرق العامة للدوال الملساء، وهو يتقارب بسرعة مذهلة: إذ ينمو عدد الأرقام الصحيحة بشكل شبه خطي مع عدد نقاط العيّنة.
كيفية الاستخدام
اكتب تعبيراً رياضياً للدالة f(x) مستخدماً المتغير x، والعمليات + - * / ^، والأقواس، والدوال القياسية مثل exp وlog/ln وsin وcos وtan وsqrt وabs وatan. ثم اختر عدد الأرقام المعنوية التي تريدها (من 6 إلى 50). كلما زادت الدقة، استُخدِمت خطوة أدقّ ونطاق اقتطاع أوسع. يجب أن تكون الدالة المُكامَلة تحليلية على خط الأعداد الحقيقية وأن تتلاشى مع تزايد قيمة x؛ ولا يجوز أن تكون دورية أو متذبذبة دون أن تتلاشى.
شرح الصيغة
تطبّق طريقة DE تغيير المتغير \(x = \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\)، الذي يكون مشتقّه \(\varphi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh t\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\). وبعد التعويض يصبح التكامل هو تكامل \(f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\) بالنسبة إلى t. وبما أن \(\varphi'(t)\) يتلاشى بمعدل أُسّ مزدوج مع تزايد |t|، فإن قاعدة شبه المنحرف البسيطة بخطوة منتظمة h، أي $$I \approx h \cdot \sum f(\varphi(kh))\,\varphi'(kh),$$ تصبح دقيقة للغاية. تبدأ الحاسبة بخطوة خشنة، ثم تُنصّف h مراراً (مع إعادة استخدام العُقد) إلى أن يتطابق تقديران متتاليان ضمن الهامش المطلوب.
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; h\sum_{k=-N}^{N} f\!\left(x_k\right)\, w_k$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_k &= \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ w_k &= \tfrac{\pi}{2}\cosh(kh)\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ h,N &= \text{chosen for } \text{digits} \text{ precision} \end{aligned} \right.$$
مثال محلول
بالنسبة للدالة \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\) فإن التكامل المضبوط هو \([\arctan x]\) من سالب اللانهاية إلى موجبها \(= \pi \approx 3.14159265358979\). ويُعطي مجموع DE الخشن بخطوة \(0.5\) على العُقد \(k = -8..8\) قيمة تقارب \(3.15\) بالفعل؛ وبتنقيح الخطوة يتقارب الناتج إلى قيمة \(\pi\) بالدقة الكاملة. وكذلك تُعيد الدالة \(\exp(-x^2)\) القيمة \(\sqrt{\pi} \approx 1.77245385090552\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر رسالة "لم يحدث التقارب"؟ في الغالب يكون التكامل متباعداً (الدالة لا تتلاشى، مثل \(f = 1\)) أو تكون الدالة دورية/متذبذبة. فطريقة DE تفترض دالة غير دورية وتحليلية عند الأطراف.
ما الدقة التي ينبغي أن أختارها؟ 15 رقماً تكافئ الدقة المضاعفة (double precision) وهي خيار افتراضي جيد. وطلب أرقام أكثر بكثير مما تدعمه الدقة المضاعفة لن يحسّن النتيجة.
هل يمكنني تكامل دوال ذات نقاط شاذة؟ تتحمل الطريقة سلوك الأطراف لأن العُقد القصوى تُعطى أوزاناً قريبة من الصفر، لكن الأقطاب الداخلية على المحور الحقيقي ستُفسد الحساب.
