这个计算器能做什么
本工具采用双指数(DE)求积法,对函数 \(f(x)\) 在整条实轴上(从负无穷到正无穷)进行数值积分。该方法也常被称为 tanh-sinh 类方法或 Takahasi-Mori 法(高桥-森方法)。对于光滑被积函数而言,DE 求积是最高效的通用算法之一,收敛速度惊人:正确有效数字的位数几乎随采样点数量线性增长。
使用方法
用 x 写出 f(x) 的数学表达式,可使用运算符 + - * / ^、括号,以及常见函数,例如 exp、log/ln、sin、cos、tan、sqrt、abs 和 atan。然后选择所需的有效数字位数(6 到 50)。精度越高,步长越细,截断区间也越宽。被积函数应在实轴上解析,并且必须随 x 增大而衰减;它不能是周期函数,也不能在不衰减的情况下持续振荡。
公式解析
DE 方法采用变量替换 \(x = \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\),其导数为 \(\phi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh t\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\)。替换之后,原积分转化为对 \(f(\phi(t))\,\phi'(t)\) 关于 t 的积分。由于当 \(|t|\) 增大时 \(\phi'(t)\) 以双指数速度衰减,采用均匀步长 h 的简单梯形法则 $$I \approx h \cdot \sum f(\phi(kh))\,\phi'(kh)$$ 便能达到极高精度。本计算器先从较粗的步长开始,然后不断将 h 减半(并复用已有节点),直到相邻两次估计值在指定容差内一致为止。
实例演算
对于 \(f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\),其精确积分为 $$\left[\arctan x\right]_{-\infty}^{\infty} = \pi \approx 3.14159265358979$$ 在节点 \(k = -8 \ldots 8\)、步长为 \(0.5\) 的粗略 DE 求和下已能得到约 \(3.15\);进一步细化步长后即收敛到 \(\pi\) 的全精度值。同样地,\(\exp(-x^2)\) 的结果为 \(\sqrt{\pi} \approx 1.77245385090552\)。
常见问题
为什么会提示"未收敛"?最常见的原因是积分本身发散(被积函数不衰减,例如 \(f = 1\)),或者函数是周期/振荡型的。DE 求积法假定被积函数非周期、且在端点处解析。
应该选多少位精度?15 位与双精度浮点相当,是一个不错的默认值。如果要求的位数远超双精度所能支持的范围,并不会让结果更准确。
能对奇异函数积分吗?由于极端节点的权重几乎被压到零,该方法可以容忍端点处的奇异行为,但若实轴内部存在极点,则会导致算法失效。
