Cầu phương hàm mũ kép (DE): Tích phân trên khoảng (-∞, ∞)

Nhập phép tính

f(x) Dùng biến x, các phép toán + - * / ^ và các hàm exp, log, ln, sin, cos, tan, sqrt, abs, atan. Hàm phải suy giảm ở vô cực (không tuần hoàn).

Số chữ số có nghĩa / độ chính xác

Kết quả

Integral over (-∞, ∞)

approximate value of ∫ f(x) dx

Phương pháp	Cầu phương hàm mũ kép (họ tanh-sinh)
Phép đổi biến	x = sinh((π/2) sinh t)
Số chữ số yêu cầu
Đã hội tụ	No (may diverge or need more levels)

Tổng DE không đạt được sai số yêu cầu. Có thể hàm dưới dấu tích phân không suy giảm ở vô cực (tích phân phân kỳ), hoặc tuần hoàn/dao động, hoặc cần chọn độ chính xác thấp hơn. Cầu phương DE giả định hàm dưới dấu tích phân không tuần hoàn, giải tích tại các đầu mút và suy giảm theo kiểu đại số.

Công cụ này làm gì

Công cụ này tính số trị tích phân xác định của một hàm f(x) trên toàn bộ trục số thực, từ âm vô cực đến dương vô cực, bằng cầu phương hàm mũ kép (DE) — còn được gọi là họ phương pháp tanh-sinh hay phương pháp Takahasi-Mori. Cầu phương DE là một trong những sơ đồ đa dụng hiệu quả nhất cho các hàm dưới dấu tích phân trơn, và hội tụ nhanh đến kinh ngạc: số chữ số chính xác tăng gần như tuyến tính theo số điểm lấy mẫu.

Cách sử dụng

Nhập biểu thức toán học cho f(x) bằng biến x, các phép toán + - * / ^, dấu ngoặc, cùng các hàm thông dụng như exp, log/ln, sin, cos, tan, sqrt, abs và atan. Sau đó chọn số chữ số có nghĩa bạn mong muốn (từ 6 đến 50). Độ chính xác càng cao thì bước lấy mẫu càng nhỏ và khoảng cắt càng rộng. Hàm dưới dấu tích phân cần giải tích trên trục số thực và phải suy giảm khi x tăng lên; nó không được tuần hoàn hoặc dao động mà không suy giảm.

Giải thích công thức

Phương pháp DE áp dụng phép đổi biến \(x = \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\), với đạo hàm là \(\phi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh t\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\). Sau khi thế biến, tích phân trở thành tích phân của \(f(\phi(t))\,\phi'(t)\) theo t. Do \(\phi'(t)\) suy giảm theo dạng hàm mũ kép khi \(|t|\) tăng, quy tắc hình thang đơn giản với bước đều \(h\),

$$ I \approx h\sum f\!\left(\phi(kh)\right)\phi'(kh), $$

trở nên cực kỳ chính xác. Công cụ bắt đầu với một bước thô, sau đó liên tục chia đôi \(h\) (tận dụng lại các nút đã có) cho đến khi hai ước lượng liên tiếp khớp nhau trong phạm vi sai số yêu cầu.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; h\sum_{k=-N}^{N} f\!\left(x_k\right)\, w_k $$$$ \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_k &= \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ w_k &= \tfrac{\pi}{2}\cosh(kh)\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ h,N &= \text{chosen for } \text{digits} \text{ precision} \end{aligned} \right. $$

Trọng số φ'(t) suy giảm theo hàm mũ kép, nên các số hạng ở xa hầu như không đóng góp gì.

Phép biến đổi DE ánh xạ lưới đều theo t lên trục thực, tập trung các điểm gần tâm.

Ví dụ minh họa

Với \(f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\), tích phân chính xác là \([\arctan x]\) từ âm đến dương vô cực \(= \pi \approx 3.14159265358979\). Một tổng DE thô với bước \(0.5\) trên các nút \(k = -8..8\) đã cho khoảng \(3.15\); việc làm mịn bước sẽ hội tụ về giá trị \(\pi\) với độ chính xác đầy đủ. Tương tự, \(\exp(-x^2)\) cho kết quả \(\sqrt{\pi} \approx 1.77245385090552\).

Câu hỏi thường gặp

Vì sao công cụ báo "không hội tụ"? Thường gặp nhất là do tích phân phân kỳ (hàm không suy giảm, ví dụ \(f = 1\)) hoặc do hàm tuần hoàn/dao động. Cầu phương DE giả định hàm dưới dấu tích phân không tuần hoàn và giải tích tại các đầu mút.

Nên chọn độ chính xác bao nhiêu? 15 chữ số tương ứng với độ chính xác kép (double precision) và là lựa chọn mặc định hợp lý. Yêu cầu nhiều chữ số hơn mức độ chính xác kép có thể hỗ trợ sẽ không cải thiện kết quả.

Có thể tích phân các hàm kỳ dị không? Phương pháp này chấp nhận được hành vi tại các đầu mút vì các nút ở rất xa được gán trọng số gần như bằng không, nhưng các điểm cực bên trong trên trục thực sẽ làm hỏng kết quả.