Tích có hướng là gì?
Tích có hướng (cross product) của hai vector ba chiều A và B tạo ra một vector thứ ba vuông góc (trực giao) với cả hai vector ban đầu. Phép toán này được sử dụng rộng rãi trong vật lý, kỹ thuật và đồ họa máy tính để tính mômen lực, mômen động lượng, vector pháp tuyến của bề mặt và trục quay. Khác với tích vô hướng (dot product) cho ra một đại lượng vô hướng, tích có hướng cho ra một vector.
Cách sử dụng máy tính này
Nhập các thành phần x, y và z của vector A và vector B. Máy tính sẽ trả về ba thành phần của A × B cùng với độ lớn của vector kết quả. Vector kết quả luôn hướng theo chiều được xác định bởi quy tắc bàn tay phải.
Giải thích công thức
Với A = (a₁, a₂, a₃) và B = (b₁, b₂, b₃):
$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\[0.4em] \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\[0.4em] \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$ Độ lớn được tính bằng \(\left\| \vec{A} \times \vec{B} \right\| = \sqrt{ C_x^{2} + C_y^{2} + C_z^{2} }\), cũng chính bằng \(|A||B|\sin(\theta)\) — tức diện tích hình bình hành tạo bởi A và B.
Ví dụ minh họa
Cho A = (1, 2, 3) và B = (4, 5, 6).
$$c_x = 2\cdot 6 - 3\cdot 5 = 12 - 15 = -3$$ $$c_y = 3\cdot 4 - 1\cdot 6 = 12 - 6 = 6$$ $$c_z = 1\cdot 5 - 2\cdot 4 = 5 - 8 = -3$$
Vậy A × B = (−3, 6, −3) với độ lớn \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7{,}348\).
Câu hỏi thường gặp
Tích có hướng có tính giao hoán không? Không. \(\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})\); đổi thứ tự sẽ làm đảo ngược chiều của vector kết quả.
Nếu hai vector song song thì sao? Tích có hướng sẽ là vector không, vì \(\sin(0) = 0\).
Có dùng được trong không gian 2D không? Tích có hướng được định nghĩa cho vector 3D. Với vector 2D, bạn chỉ cần đặt thành phần z bằng 0; khi đó kết quả sẽ chỉ có thành phần z.
