Công cụ này làm được gì
Công cụ này thực hiện hai phép toán vector cơ bản: tích vô hướng (tích trong) và tích có hướng của hai vector a và b. Tích vô hướng cho ra một số vô hướng duy nhất, trong khi tích có hướng tạo ra một vector 3 chiều mới vuông góc với cả hai vector ban đầu. Máy tính cũng đưa ra độ lớn của tích có hướng và góc giữa hai vector.
Cách sử dụng
Nhập các thành phần của vector a và vector b dưới dạng các số cách nhau bằng dấu phẩy (ví dụ 1, 2, 3). Với tích vô hướng, a và b có thể có số chiều \(n\) bất kỳ miễn là khớp nhau. Với tích có hướng, cả hai vector bắt buộc phải có đúng ba thành phần. Bạn chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị từ danh sách thả xuống; tùy chọn này chỉ ảnh hưởng đến kết quả hiển thị chứ không tác động đến phép tính bên trong.
Giải thích các công thức
Tích vô hướng nhân các thành phần tương ứng rồi cộng lại:
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i\,b_i$$Kết quả bằng không nghĩa là hai vector trực giao (vuông góc với nhau). Tích có hướng tạo ra vector
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2\,b_3 - a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1 - a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \end{pmatrix}$$Góc được tính từ công thức
$$\theta = \arccos\!\left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \, \lVert \mathbf{b} \rVert} \right)$$với điều kiện cả hai vector đều khác vector không.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) và \(\mathbf{b} = (4, 5, 6)\). Tích vô hướng là
$$1\times 4 + 2\times 5 + 3\times 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$Các thành phần của tích có hướng là \(c_1 = 2\times 6 - 3\times 5 = -3\), \(c_2 = 3\times 4 - 1\times 6 = 6\), \(c_3 = 1\times 5 - 2\times 4 = -3\), cho ra \(\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (-3, 6, -3)\). Độ lớn của nó là \(\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7{,}3485\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao tích có hướng của tôi không xác định? Tích có hướng chỉ được định nghĩa cho vector 3 chiều. Hãy đảm bảo cả a và b đều có đúng ba thành phần.
Vì sao tích vô hướng không xác định? Tích vô hướng yêu cầu a và b có cùng số thành phần. Nếu số chiều khác nhau thì phép toán không được định nghĩa.
Tích vô hướng bằng không có ý nghĩa gì? Nó có nghĩa là hai vector trực giao (tạo với nhau một góc 90 độ).
