Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, a ve b vektörleri için iki temel vektör işlemini hesaplar: skaler (nokta) çarpım ve vektörel (çapraz) çarpım. Skaler çarpım tek bir sayı (skaler) verirken, vektörel çarpım her iki vektöre de dik olan yeni bir 3 boyutlu vektör üretir. Hesaplayıcı ayrıca vektörel çarpımın büyüklüğünü ve iki vektör arasındaki açıyı da gösterir.
Nasıl kullanılır?
a ve b vektörlerinin bileşenlerini virgülle ayrılmış sayılar olarak girin (örneğin 1, 2, 3). Skaler çarpım için a ve b vektörleri \(n\) boyutlu olabilir; yeter ki boyutları aynı olsun. Vektörel çarpım içinse her iki vektörün de tam olarak üç bileşeni olmalıdır. Açılır menüden kaç anlamlı basamak görmek istediğinizi seçin; bu yalnızca gösterilen sonucu etkiler, asıl hesabı değiştirmez.
Formüllerin açıklaması
Skaler çarpım, karşılıklı bileşenleri çarpıp toplar:
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$$Sonucun sıfır çıkması, vektörlerin birbirine dik (ortogonal) olduğu anlamına gelir. Vektörel çarpım ise şu vektörü verir:
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2\,b_3 - a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1 - a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \end{pmatrix}$$Açı,
$$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \, \lVert \mathbf{b} \rVert}$$formülünden bulunur; bunun için her iki vektörün de sıfırdan farklı olması gerekir.
Çözümlü örnek
\(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) ve \(\mathbf{b} = (4, 5, 6)\) olsun. Skaler çarpım:
$$1\times 4 + 2\times 5 + 3\times 6 = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$Vektörel çarpımın bileşenleri ise \(c_1 = 2\times 6 - 3\times 5 = -3\), \(c_2 = 3\times 4 - 1\times 6 = 6\), \(c_3 = 1\times 5 - 2\times 4 = -3\) olup \(\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (-3, 6, -3)\) sonucunu verir. Bu vektörün büyüklüğü
$$\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7{,}3485$$olur.
Sıkça sorulan sorular
Vektörel çarpımım neden tanımsız çıkıyor? Vektörel çarpım yalnızca 3 boyutlu vektörler için tanımlıdır. Hem a hem de b vektörünün tam olarak üç bileşeninin olduğundan emin olun.
Skaler çarpım neden tanımsız? Skaler çarpım için a ve b vektörlerinin bileşen sayılarının aynı olması gerekir. Boyutları farklıysa bu işlem tanımlı değildir.
Skaler çarpımın sıfır çıkması ne anlama gelir? İki vektörün birbirine dik (aralarındaki açının 90 derece) olduğu anlamına gelir.
