À quoi sert ce calculateur
Cet outil réalise deux opérations vectorielles fondamentales : le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs a et b. Le produit scalaire renvoie un seul nombre (un scalaire), tandis que le produit vectoriel renvoie un nouveau vecteur en dimension 3, perpendiculaire aux deux vecteurs de départ. Le calculateur indique également la norme du produit vectoriel ainsi que l'angle formé par les deux vecteurs.
Mode d'emploi
Saisissez les composantes du vecteur a et du vecteur b sous forme de nombres séparés par des virgules (par exemple 1, 2, 3). Pour le produit scalaire, a et b peuvent avoir n'importe quelle dimension \(n\), à condition qu'elle soit identique. Pour le produit vectoriel, chaque vecteur doit comporter exactement trois composantes. Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher dans le menu déroulant ; ce réglage n'agit que sur l'affichage du résultat, pas sur le calcul lui-même.
Les formules expliquées
Le produit scalaire multiplie les composantes correspondantes puis en fait la somme :
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i\,b_i$$Un résultat nul signifie que les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Le produit vectoriel donne le vecteur
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2\,b_3 - a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1 - a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \end{pmatrix}$$L'angle se déduit de
$$\theta = \arccos\!\left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \, \lVert \mathbf{b} \rVert} \right)$$formule qui exige que les deux vecteurs soient non nuls.
Exemple détaillé
Prenons a = (1, 2, 3) et b = (4, 5, 6). Le produit scalaire vaut
$$1\times 4 + 2\times 5 + 3\times 6 = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$Les composantes du produit vectoriel sont \(c_1 = 2\times 6 - 3\times 5 = -3\), \(c_2 = 3\times 4 - 1\times 6 = 6\), \(c_3 = 1\times 5 - 2\times 4 = -3\), soit \(\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (-3, 6, -3)\). Sa norme est \(\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7{,}3485\).
FAQ
Pourquoi mon produit vectoriel n'est-il pas défini ? Le produit vectoriel n'est défini que pour des vecteurs en dimension 3. Vérifiez que a et b possèdent bien exactement trois composantes chacun.
Pourquoi mon produit scalaire n'est-il pas défini ? Le produit scalaire impose que a et b aient le même nombre de composantes. Si leurs dimensions diffèrent, l'opération n'a pas de sens.
Que signifie un produit scalaire nul ? Cela indique que les deux vecteurs sont orthogonaux (ils forment un angle de 90 degrés).
