Qu'est-ce qu'une norme vectorielle ?
Une norme vectorielle mesure la « longueur » ou la grandeur d'un vecteur. Ce calculateur détermine les trois normes les plus courantes d'un vecteur réel : la norme L1 (aussi appelée norme de Manhattan ou norme du taxi), la norme L2 (la fameuse longueur euclidienne) et la norme L-infini (la plus grande composante en valeur absolue). On les rencontre en permanence en apprentissage automatique, en optimisation, en statistiques, en traitement du signal et en physique.
Comment l'utiliser
Saisissez chaque composante de votre vecteur sur une ligne distincte dans le champ de saisie, par exemple un vecteur à trois éléments : 3, -4 et 12. Les nombres négatifs et décimaux sont parfaitement pris en charge, et les lignes vides sont ignorées. Cliquez sur « Calculer » et les trois normes s'affichent simultanément, accompagnées du nombre de composantes détectées.
Les formules expliquées
Pour un vecteur x de composantes \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) :
$$\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i| \qquad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} \qquad \|\vec{v}\|_\infty = \max_i |x_i|$$- L1 = somme des \(|x_i|\) — on additionne les valeurs absolues.
- L2 = racine carrée de la somme des \(x_i^2\) — la distance en ligne droite depuis l'origine.
- L-infini = maximum des \(|x_i|\) — la plus grande grandeur prise isolément.
Un bon réflexe de vérification : pour tout vecteur, les inégalités \(\|\vec{v}\|_\infty \le \|\vec{v}\|_2 \le \|\vec{v}\|_1\) sont toujours vraies.
Exemple détaillé
Prenons le vecteur [3, -4, 12]. La norme L1 vaut
$$\|\vec{v}\|_1 = |3| + |-4| + |12| = 3 + 4 + 12 = 19.$$La norme L2 vaut
$$\|\vec{v}\|_2 = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$La norme L-infini vaut
$$\|\vec{v}\|_\infty = \max(3, 4, 12) = 12.$$FAQ
Que se passe-t-il si la saisie est vide ? Si aucune composante n'est renseignée, les trois normes affichent 0.
Le signe d'une composante a-t-il une importance ? Les trois normes reposent sur des valeurs absolues ou des carrés : une composante et son opposé contribuent donc de façon identique.
Pourquoi certains résultats ne sont-ils pas des nombres entiers ? La norme L2 fait intervenir une racine carrée : à moins que la somme des carrés ne soit un carré parfait, le résultat est irrationnel et s'affiche arrondi à environ dix chiffres significatifs.
