向量範數計算機

輸入計算

數學公式

結果

L2 範數（歐幾里得）

for 3 component(s)

L1 範數（曼哈頓／絕對值總和）	19
L2 範數（歐幾里得）	13
L-infinity 範數（絕對值最大值）	12

什麼是向量範數？

向量範數用來衡量一個向量的「長度」或大小。本計算機可一次算出實數向量最常見的三種範數：L1 範數（又稱曼哈頓範數或計程車範數）、L2 範數（也就是我們熟悉的歐幾里得長度），以及 L-infinity 範數（絕對值最大的分量）。這些範數在機器學習、最佳化、統計、訊號處理與物理領域中隨處可見。

從原點指向某一點的二維向量箭頭，並顯示其水平與垂直分量 — 二維空間中的向量及其分量。

使用方法

在輸入框中，每一行輸入向量的一個分量，例如一個包含 3、-4、12 三個分量的向量。完整支援負數與小數，空白行會自動忽略。按下計算後，三種範數會同時呈現，並一併顯示偵測到的分量個數。

公式說明

對於分量為 $x_1$、$x_2$、…、$x_n$ 的向量 $x$：

$$\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i| \qquad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} \qquad \|\vec{v}\|_\infty = \max_i |x_i|$$

L1 = $|x_i|$ 的總和——把所有分量的絕對值加起來。
L2 = $x_i^{2}$ 總和的平方根——也就是從原點出發的直線距離。
L-infinity = $|x_i|$ 的最大值——單一絕對值最大的那個分量。

一個方便檢查的小技巧：對任何向量，恆有 $\|\vec{v}\|_\infty \le \|\vec{v}\|_2 \le \|\vec{v}\|_1$ 的不等式關係。

原點與某一點之間 L1、L2 與 L-無窮距離的比較 — L1（曼哈頓距離）沿網格路徑，L2（歐幾里得距離）是直線，L-無窮是最大的單一分量。

實例演算

以向量 [3, -4, 12] 為例。L1 範數為 $$|3| + |-4| + |12| = 3 + 4 + 12 = 19.$$ L2 範數為 $$\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$ L-infinity 範數為 $$\max(3, 4, 12) = 12.$$