這個計算機能做什麼
本工具可針對任意 n×m 實數矩陣 \(A = \{a_{ij}\}\) 計算四種最常用的矩陣範數：L1 範數（各行絕對值總和的最大值）、L2／譜範數（最大奇異值）、Frobenius 範數（所有元素平方和開根號），以及 L∞ 範數（各列絕對值總和的最大值）。矩陣範數用來衡量一個矩陣的「大小」，也代表它能把向量拉伸的最大倍數，因此在數值線性代數、最佳化、機器學習與穩定性分析中都不可或缺。這是純數學運算，在任何國家、任何情境下結果都完全一致。
使用方式
先設定列數（n）與行數（m），接著在文字方塊中輸入矩陣，每一列各佔一行，元素之間以空格或逗號分隔。任何留空的儲存格都會視為 0。選擇要顯示的有效位數後，即可一次讀出四種範數。各公式會在需要時自動取絕對值，因此負數元素也能正確處理。
公式解析
1-範數會沿著每一行加總絕對值，並取其中最大的總和；∞-範數則對每一列做同樣的計算。Frobenius 範數把矩陣攤平成一個向量，再取其歐幾里得長度，也就是所有元素平方和的平方根。譜範數等於最大奇異值 \(\sigma_{\max}(\text{A})\)，可由對稱 Gram 矩陣 \(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\) 的最大特徵值開根號求得；本工具透過冪次迭代法（power iteration）取得該特徵值。若矩陣全為零，所有範數會直接歸零。
$$\|\text{A}\|_{1} = \max_{1 \le j \le m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$ $$\|\text{A}\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$ $$\|\text{A}\|_{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}^{2}}$$ $$\|\text{A}\|_{2} = \sigma_{\max}(\text{A}) = \sqrt{\lambda_{\max}\!\left(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\right)}$$
實例演算
以 \(A = [[1, 2], [3, 4]]\) 為例：各行總和為 4 與 6，所以 L1 範數為 6；各列總和為 3 與 7，所以 L∞ 範數為 7。Frobenius 範數為 $$\sqrt{1+4+9+16} = \sqrt{30} = 5.4772255751$$ Gram 矩陣 \(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A} = [[10,14],[14,20]]\) 的特徵值由 \(\lambda^2 - 30\lambda + 4 = 0\) 解出，得到 \(\lambda_{\max} = 29.8660687473\)，因此譜範數為 $$\sqrt{29.8660687473} = 5.4649857042$$
常見問題
譜範數和 Frobenius 範數一樣嗎？只有在秩為 1 的矩陣（例如單一列向量或行向量）時兩者才相等。一般而言 \(\text{norm2}\) 小於或等於 \(\text{normF}\)，而 \(\text{normF}\) 最多是 \(\text{norm2}\) 的 \(\sqrt{\text{rank}}\) 倍。
複數矩陣怎麼辦？在取絕對值的部分改用各元素的模（magnitude），譜範數則改用共軛轉置。本計算機針對的是實數矩陣。
為什麼 L1 範數用行、L∞ 範數用列？它們分別是由 L1 與 L∞ 向量範數誘導出的（運算子）範數，推導後恰好對應到最大行和與最大列和。
